Vamos estudar a função
no domínio , . O objetivo é mostrar que existe um mínimo local em . Para isso vamos (i) encontrar os pontos críticos resolvendo e (ii) verificar que o hessiano em é definido positivo.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Em temos
logo é ponto crítico.
Passo 3
O hessiano de é
Em (1,1) isso vale
Hf(1,1)= 2+6 & 1 1 & 2+6 = 8 & 1 1 & 8
Passo 4
Verificamos os menores principais de Hf(1,1): o primeiro é
8>0,
e o determinante é
det Hf(1,1)=8cdot8-1cdot1=64-1=63>0
Como todos os menores principais são positivos, Hf(1,1) é definido positivo. Isso garante que f tem um mínimo local em (1,1).