Mostrar que
f(x, y)=x^2+x y+y^2+3x+3y+5
tem mínimo local em (1,1).

Passo 1

Vamos estudar a função
f(x,y)=x^2+x,y+y^2+3x+3y+5
no domínio x>0, y>0. O objetivo é mostrar que existe um mínimo local em (1,1). Para isso vamos (i) encontrar os pontos críticos resolvendo nabla f=0 e (ii) verificar que o hessiano em (1,1) é definido positivo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x+y-3x^-2,
partial fpartial y=2y+x-3y^-2
Em (x,y)=(1,1) temos
partial fpartial x(1,1)=2cdot1+1-3=0, partial fpartial y(1,1)=2cdot1+1-3=0,
logo (1,1) é ponto crítico.

Passo 3

O hessiano de f é
Hf(x,y)= 2+6x^-3 & 1 1 & 2+6y^-3
Em (1,1) isso vale
Hf(1,1)= 2+6 & 1 1 & 2+6 = 8 & 1 1 & 8

Passo 4

Verificamos os menores principais de Hf(1,1): o primeiro é
8>0,
e o determinante é
det Hf(1,1)=8cdot8-1cdot1=64-1=63>0
Como todos os menores principais são positivos, Hf(1,1) é definido positivo. Isso garante que f tem um mínimo local em (1,1).

Resposta

A função f apresenta mínimo local em (1,1).

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