7- Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P^{-1} A P.
a) A=\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right]
b) A=\left[\begin{array}{ll}9 & 1 \\\\ 4 & 6\end{array}\right]
c) A=\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]
d) A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 2\end{array}\right]
e) A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 3 & -1 \\\\ 0 & -4 & 3\end{array}\right]
f) A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para cada matriz A verificar se ela é diagonalizável. Para isso precisamos:
1. Calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e achar os autovalores \lambda.
2. Para cada autovalor, calcular o autovetor resolvendo (A-\lambda I)x=0 e verificar a dimensão do autoespaço.
3. Se a soma das dimensões dos autoespaços for igual à ordem de A, então A é diagonalizável e podemos montar P com colunas sendo autovetores e obter
D = P^{-1} A P
onde D é diagonal contendo os autovalores.

Passo 2

a) A=\begin{pmatrix}2 & 4\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) = (2-\lambda)(1-\lambda) - 4\cdot3 = \lambda^2 -3\lambda -10 =0,
com raízes \lambda_1=5 e \lambda_2=-2 (distintos).
Para \lambda_1=5:
(A-5I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-3 & 4\\\ 3 & -4\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;y=\tfrac34 x.
Escolhemos v_1=(4,3)^T.
Para \lambda_2=-2:
(A+2I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}4 & 4\\\ 3 & 3\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;y=-x.
Escolhemos v_2=(1,-1)^T.
Como há dois autovetores independentes, A é diagonalizável com
P = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix}, \quad D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix}5 & 0\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.

Passo 3

b) A=\begin{pmatrix}9 & 1\\\ 4 & 6\end{pmatrix}.
\det(A-\lambda I) = (9-\lambda)(6-\lambda)-4 = \lambda^2 -15\lambda +50 =0
raízes \lambda_1=10, \lambda_2=5.
Para \lambda_1=10:
(9-10)x + y =0 \Rightarrow y=x. Tomamos v_1=(1,1)^T.
Para \lambda_2=5:
(9-5)x + y =0 \Rightarrow y=-4x. Tomamos v_2=(1,-4)^T.
São dois vetores independentes, então
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & -4\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}10 & 0\\\ 0 & 5\end{pmatrix}.

Passo 4

c) A=\begin{pmatrix}5 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
\det(A-\lambda I) = (5-\lambda)(3-\lambda)+1 = \lambda^2 -8\lambda +16 = (\lambda-4)^2.
O único autovalor \lambda=4 tem multiplicidade algébrica 2.
(A-4I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & -1\end{pmatrix}\!(x,y)^T=0 \;\Longrightarrow\;y=x,
espaço próprio unidimensional. Como a dimensão do autoespaço é 1< 2, não é diagonalizável.

Passo 5

d) A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\\ -1 & 3 & 1\\\ 0 & 2 & 2\end{pmatrix}.
O polinômio característico dá três valores distintos
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = \frac{5+\sqrt{17}}2,\quad \lambda_3 = \frac{5-\sqrt{17}}2.
Cada um fornece um autovetor independentemente, logo A é diagonalizável.
Autovetores (um esquemático):
\lambda_1=1 \Rightarrow v_1=(0,1,-2)^T.
\lambda_{2,3}\Rightarrow tomando z=2,
v_2 = \Bigl(2,\;\tfrac{5+\sqrt{17}}2-2,\;2\Bigr)^T, \quad v_3 = \Bigl(2,\;\tfrac{5-\sqrt{17}}2-2,\;2\Bigr)^T.
Então
P = \bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr], \quad D = \operatorname{diag}\!\bigl(1,\tfrac{5+\sqrt{17}}2,\tfrac{5-\sqrt{17}}2\bigr).

Passo 6

e) A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\ -2 & 3 & -1\\\ 0 & -4 & 3\end{pmatrix}.
Os autovalores são 1 (mult. 1) e 3 (mult. 2).
Para \lambda=3 o autoespaço satisfaz
(A-3I)x=0 leva apenas à solução trivial, ou seja, dimensão do autoespaço <2.
Logo não é diagonalizável.

Passo 7

f) A=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1\\\ 0 & 1 & -4\\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}.
É triangular superior com autovalores distintos 2,1,3. Logo diagonalizável.
Autovetores:
\lambda=2 \Rightarrow v_1=(1,0,0)^T,
\lambda=1 \Rightarrow v_2=(-3,1,0)^T,
\lambda=3 \Rightarrow v_3=(-7,-2,1)^T.
P=\begin{pmatrix}1 & -3 & -7\\\ 0 & 1 & -2\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix}.

Resposta

(a) Diagonalizável com
P=\begin{pmatrix}4&1\\\ 3&-1\end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}5&0\\\ 0&-2\end{pmatrix}.
(b) Diagonalizável com
P=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-4\end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}10&0\\\ 0&5\end{pmatrix}.
(c) Não é diagonalizável.
(d) Diagonalizável com
P=\bigl[(0,1,-2)^T,\;(2,\tfrac{5+\sqrt{17}}2-2,2)^T,\;(2,\tfrac{5-\sqrt{17}}2-2,2)^T\bigr],
P^{-1}AP=\operatorname{diag}\!\bigl(1,\tfrac{5+\sqrt{17}}2,\tfrac{5-\sqrt{17}}2\bigr).
(e) Não é diagonalizável.
(f) Diagonalizável com
P=\begin{pmatrix}1&-3&-7\\\ 0&1&-2\\\ 0&0&1\end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix}.

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