Encontrar os valores de x(x>0) tal que p=(x, 2 x+3) seja paralelo a q=(3 x-1, x+1), logo calcular y em p+q=15(y-15 p).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em função de x, com x>0:
vec p=(x,,2x+3), vec q=(3x-1,,x+1),
e pede duas coisas:
  1. Encontrar os valores de x tais que vec p e vec q sejam paralelos.
  2. Para esses valores de x, resolver a equação vetorial
vec p+vec q=tfrac15l(vec y-15,vec pr)
e determinar vec y.

Passo 2

Para que dois vetores em R^2 sejam paralelos basta que seu determinante seja zero, ou seja,
detl(vec p,vec qr) =x,(x+1)-(2x+3)(3x-1)=0
Desenvolvendo:
x^2+x-l(6x^2+7x-3r) =-5x^2-6x+3=0
que é equivalente a
5x^2+6x-3=0

Passo 3

Resolvendo ,5x^2+6x-3=0, o discriminante é
De<a=6^2-4cdot5cdot(-3)=36+60=96,
logo
x=-6pmraiz962cdot5 =-6pm4raiz610 =-3pm2raiz65
Como x>0, fica
boxedx=-3+2raiz65

Passo 4

Agora escrevemos a equação vetorial e isolamos vec y. Multiplicando ambos os lados por 5 temos
5(vec p+vec q)=vec y-15,vec p Longrightarrow vec y=5vec p+5vec q+15vec p =20,vec p+5,vec q

Passo 5

Substituindo vec p=(x,2x+3) e vec q=(3x-1,x+1) em vec y=20vec p+5vec q, os componentes são
y1=20x+5(3x-1)=35x-5, y2=20(2x+3)+5(x+1)=45x+65
Por fim, para
;x=-3+2raiz65,
temos
y1 =35cdot-3+2raiz65-5 =7(-3+2raiz6)-5 =-21+14raiz6-5 =-26+14raiz6,
y2 =45cdot-3+2raiz65+65 =9(-3+2raiz6)+65 =-27+18raiz6+65 =38+18raiz6
Portanto
boxedvec y=l(-26+14raiz6,;38+18raiz6r)

Resposta

x=-3+2raiz65, vec y=l(-26+14raiz6,;38+18raiz6r)

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