Questão 3 (2 pontos) Utilizando operações elementares na matriz aumentada, resolva e classifique o sistema linear.
c x+y+z=0 x-y=0 2 y+z=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver e classificar o sistema
x+y+z=0, x-y=0, 2y+z=0
usando operações elementares na matriz aumentada. Aqui o conteúdo é eliminação de Gauss (escalonamento) para encontrar a solução geral e determinar se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada associada a esse sistema, em que cada linha corresponde a uma equação e a última coluna aos termos independentes:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 ]

Passo 3

Eliminamos x na segunda linha fazendo R2 >=ts R2 - R1:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & -2 & -1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 ]

Passo 4

Em seguida eliminamos y na terceira linha somando R3 >=ts R3 + R2:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & -2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]
Agora a terceira linha é nula, indicando dependência entre as equações.

Passo 5

Da segunda linha escalonada temos a equação
-2y - z = 0 Longrightarrow z = -2y
Da primeira linha temos
x + y + z = 0
Substituindo z=-2y nessa primeira equação dá
x + y - 2y = 0 Longrightarrow x = y

Passo 6

Há uma variável livre: escolha y = tinR. Então
x = t, z = -2t
Logo o conjunto das soluções é
(x,y,z)=(t,;t,;-2t)mid tinR

Passo 7

Como o posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas não-nulas) e há 3 incógnitas, temos posto menor que o número de incógnitas e posto igual ao da matriz aumentada. Portanto o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções).

Resposta

A solução geral é
(x,y,z)=(t,;t,;-2t),;tinR,
e o sistema é possível e indeterminado.

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