Questão 3 (2 pontos) Utilizando operações elementares na matriz aumentada, resolva e classifique o sistema linear.
Passo 1
O enunciado pede para resolver e classificar o sistema
x+y+z=0, x-y=0, 2y+z=0
usando operações elementares na matriz aumentada. Aqui o conteúdo é eliminação de Gauss (escalonamento) para encontrar a solução geral e determinar se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.
Passo 2
Formamos a matriz aumentada associada a esse sistema, em que cada linha corresponde a uma equação e a última coluna aos termos independentes:
Agora a terceira linha é nula, indicando dependência entre as equações.
Passo 5
Da segunda linha escalonada temos a equação
-2y - z = 0 Longrightarrow z = -2y
Da primeira linha temos
x + y + z = 0
Substituindo z=-2y nessa primeira equação dá
x + y - 2y = 0 Longrightarrow x = y
Passo 6
Há uma variável livre: escolha y = tinR. Então
x = t, z = -2t
Logo o conjunto das soluções é
(x,y,z)=(t,;t,;-2t)mid tinR
Passo 7
Como o posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas não-nulas) e há 3 incógnitas, temos posto menor que o número de incógnitas e posto igual ao da matriz aumentada. Portanto o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções).