Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
^* W=X in M2(R) / A X=X A, onde A=(ll1 & 0 1 & 1)

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
W = Xin M2(R) mid A,X = X,A
onde
A = 1 & 0 [6pt] 1 & 1
O conteúdo envolve produto de matrizes e resolução de um sistema linear para os coeficientes de X.]

Passo 2

Escrevemos a matriz genérica
X = x & y [4pt] z & w,
com x,y,z,winR. Vamos impor a condição de comutação A,X = X,A.

Passo 3

Calculemos
A,X = 1 & 0 [2pt] 1 & 1 x & y [2pt] z & w = x & y [2pt] x+z & y+w,
X,A = x & y [2pt] z & w 1 & 0 [2pt] 1 & 1 = x+y & y [2pt] z+w & w

Passo 4

Igualando
Das duas primeiras e da última equação obtemos . Logo

Passo 5

Assim as matrizes de W são
X = x & 0 [4pt] z & x = x1 & 0 [2pt] 0 & 1 + z0 & 0 [2pt] 1 & 0
Daí é claro que
l,I,;E21r, I = 1 & 0 [2pt] 0 & 1, E21 = 0 & 0 [2pt] 1 & 0
é uma base de W, e como temos dois vetores independentes,
dim(W)=2.

Resposta

Uma base de W é
lI,;E21r,
e a dimensão de W é 2.

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