Sejam os pontos A=(2,6) e B=(-3,-2). Determinar o vetor \vec{v} tal que
A=B+3 \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(2,6) e B=(-3,-2). Pede para determinar o vetor \vec{v} que satisfaz a equação
A = B + 3\vec{v}.
Informações relevantes:
  • Coordenadas de A: (2,6).
  • Coordenadas de B: (-3,-2).
  • A incógnita é o vetor \vec{v} em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Lembrete sobre operações com vetores em coordenadas (isso é útil para aplicar direto na prova):
  • Se \vec{x}=(x_1,x_2) e \vec{y}=(y_1,y_2), então a soma é
\vec{x}+\vec{y}=(x_1+y_1,\;x_2+y_2).
  • Se c é um escalar, então a multiplicação é
c\vec{x}=(c x_1,\; c x_2).
Usando essas regras, a equação A=B+3\vec{v} pode ser rearranjada para isolar \vec{v}. Subtraindo B dos dois lados:
3\vec{v} = A - B.
Portanto
\vec{v} = \frac{1}{3}\,(A-B).

Passo 3

Agora calculamos A-B coordenada a coordenada:
A-B = (2-(-3),\;6-(-2)) = (2+3,\;6+2) = (5,\;8).
Dividindo por 3 coordenada a coordenada:
\vec{v} = \frac{1}{3}(5,8) = \left(\frac{5}{3},\;\frac{8}{3}\right).

Passo 4

Verificação rápida (faz bem na prova para ter certeza): calcule B+3\vec{v}.
3\vec{v} = 3\left(\frac{5}{3},\frac{8}{3}\right) = (5,8),
B+3\vec{v} = (-3,-2)+(5,8) = (-3+5,\;-2+8) = (2,6) = A.
Portanto a solução está correta. Interpretação geométrica: A-B=(5,8) é o vetor que vai de B a A; \vec{v} é um terço desse vetor.

Passo 5

Dica prática para a prova: sempre transforme equações vetoriais em operações coordenadas. Isolar \vec{v} por divisão escalar e dividir cada componente é direto e reduz chances de erro. Boa — você conseguiu chegar à resposta!

Resposta

\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{8}{3}\right)

Exercícios relacionados