Encontrar o vértice oposto a B_{\text {, no paralelogramo } A B C D \text {, para: }} A=(1,2,1), B=(-2,-4,-5) e C=(-4,-1,5)
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais são os dados fornecidos.
Dados fornecidos:
A=(1,2,1).
B=(-2,-4,-5).
C=(-4,-1,5).
Pergunta do enunciado:
Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD. Ou seja, determinar as coordenadas do vértice D.
Passo 2
Ideia-chave (propriedade do paralelogramo) — explicação didática e por que vamos usá-la.
Em qualquer paralelogramo os segmentos diagonais se cortam no mesmo ponto médio. Isso significa que o ponto médio do segmento \overline{AC} coincide com o ponto médio do segmento \overline{BD}.
Em coordenadas, se o ponto médio de \overline{AC} éM_{AC}=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2},\frac{z_A+z_C}{2}\right)e o ponto médio de \overline{BD} éM_{BD}=\left(\frac{x_B+x_D}{2},\frac{y_B+y_D}{2},\frac{z_B+z_D}{2}\right),então, como M_{AC}=M_{BD}, ao igualar as coordenadas e resolver por x_D,y_D,z_D obtém-se a relação vetorial clássica\vec{D}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B}.
Outra maneira equivalente (mais direta) é usar que, em vetores, \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{0} ou que as diagonais se bissetam; ambas conduzem à mesma fórmula acima. Escolhi a fórmula \vec{D}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B} porque é direta e fácil de aplicar em coordenadas.
Passo 3
Relembrando como operar com coordenadas (adição e subtração de vetores em \mathbb{R}^3) — mini-aula.
Se \vec{U}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{V}=(v_1,v_2,v_3), então\vec{U}+\vec{V}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3),
\vec{U}-\vec{V}=(u_1-v_1,\;u_2-v_2,\;u_3-v_3).
Para aplicar \vec{D}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B} basta fazer soma componente a componente entre \vec{A} e \vec{C} e depois subtrair componente a componente a coordenada de \vec{B}.
Passo 4
Calcular \vec{A}+\vec{C} componente a componente usando os dados fornecidos.
x-componentes: 1 + (-4) = -3.
y-componentes: 2 + (-1) = 1.
z-componentes: 1 + 5 = 6.
Portanto,
\vec{A}+\vec{C}=(-3,\,1,\,6).
Passo 5
Agora calcular \vec{A}+\vec{C}-\vec{B} componente a componente. Lembrando que \vec{B}=(-2,-4,-5).
Para a coordenada x:(-3)-(-2) = -3+2 = -1.
Para a coordenada y:1-(-4) = 1+4 = 5.
Para a coordenada z:6-(-5) = 6+5 = 11.
As coordenadas finais obtidas para D são, componente a componente, x_D=-1, y_D=5 e z_D=11.
Passo 6
Resumo final do raciocínio (curtinho e motivador):
Usei a propriedade geométrica de que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio.
Isso leva à fórmula vetorial \vec{D}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B}.
Fiz as contas componente a componente e encontrei as coordenadas de D.