Encontrar o vértice oposto a B_{\text {, no paralelogramo } A B C D \text {, para: }}
A=(1,2,1), B=(-2,-4,-5) e C=(-4,-1,5)

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais são os dados fornecidos.
  • Dados fornecidos:
    • A=(1,2,1).
    • B=(-2,-4,-5).
    • C=(-4,-1,5).
  • Pergunta do enunciado:
    • Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD. Ou seja, determinar as coordenadas do vértice D.

Passo 2

Ideia-chave (propriedade do paralelogramo) — explicação didática e por que vamos usá-la.
  • Em qualquer paralelogramo os segmentos diagonais se cortam no mesmo ponto médio. Isso significa que o ponto médio do segmento \overline{AC} coincide com o ponto médio do segmento \overline{BD}.
  • Em coordenadas, se o ponto médio de \overline{AC} é M_{AC}=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2},\frac{z_A+z_C}{2}\right)e o ponto médio de \overline{BD} é M_{BD}=\left(\frac{x_B+x_D}{2},\frac{y_B+y_D}{2},\frac{z_B+z_D}{2}\right),então, como M_{AC}=M_{BD}, ao igualar as coordenadas e resolver por x_D,y_D,z_D obtém-se a relação vetorial clássica \vec{D}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B}.
  • Outra maneira equivalente (mais direta) é usar que, em vetores, \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{0} ou que as diagonais se bissetam; ambas conduzem à mesma fórmula acima. Escolhi a fórmula \vec{D}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B} porque é direta e fácil de aplicar em coordenadas.

Passo 3

Relembrando como operar com coordenadas (adição e subtração de vetores em \mathbb{R}^3) — mini-aula.
  • Se \vec{U}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{V}=(v_1,v_2,v_3), então \vec{U}+\vec{V}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3),
\vec{U}-\vec{V}=(u_1-v_1,\;u_2-v_2,\;u_3-v_3).
  • Para aplicar \vec{D}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B} basta fazer soma componente a componente entre \vec{A} e \vec{C} e depois subtrair componente a componente a coordenada de \vec{B}.

Passo 4

Calcular \vec{A}+\vec{C} componente a componente usando os dados fornecidos.
  • x-componentes: 1 + (-4) = -3.
  • y-componentes: 2 + (-1) = 1.
  • z-componentes: 1 + 5 = 6.
Portanto,
\vec{A}+\vec{C}=(-3,\,1,\,6).

Passo 5

Agora calcular \vec{A}+\vec{C}-\vec{B} componente a componente. Lembrando que \vec{B}=(-2,-4,-5).
  • Para a coordenada x: (-3)-(-2) = -3+2 = -1.
  • Para a coordenada y: 1-(-4) = 1+4 = 5.
  • Para a coordenada z: 6-(-5) = 6+5 = 11.
As coordenadas finais obtidas para D são, componente a componente, x_D=-1, y_D=5 e z_D=11.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (curtinho e motivador):
  • Usei a propriedade geométrica de que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio.
  • Isso leva à fórmula vetorial \vec{D}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B}.
  • Fiz as contas componente a componente e encontrei as coordenadas de D.

Resposta

D=(-1,5,11)

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