Encontrar z_{x} e z_{y} em (0,0,0) se x^{3}+z^{2}+y e^{x z}+z \cos (y)=0 define z como uma função diferenciável nas variáveis x e y, ou seja, z=z(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{3}+z^{2}+y e^{x z}+z\cos(y)=0
que define z como função diferenciável de x e y, ou seja z=z(x,y). A tarefa é encontrar as derivadas parciais de z em (0,0,0):
  • z_x(0,0,0) — derivada parcial de z em relação a x no ponto (x,y,z)=(0,0,0);
  • z_y(0,0,0) — derivada parcial de z em relação a y no mesmo ponto.
Informações importantes fornecidas:
  • A equação relaciona x, y e z e é válida numa vizinhança de (0,0,0).
  • É dado que z é diferenciável em x e y, portanto as derivadas parciais que pedem existem.

Passo 2

Idéia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Definimos a função auxiliar
F(x,y,z)=x^{3}+z^{2}+y e^{x z}+z\cos(y).
A equação é F(x,y,z)=0 com z=z(x,y). Como z depende de x e y e F(x,y,z(x,y))\equiv 0, a derivada total de F em relação a x deve ser zero. Aplicando a regra da cadeia (chain rule) para derivar uma função composta em que z depende de x, obtemos
\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z}\,z_x = 0.
Aqui:
  • \dfrac{\partial F}{\partial x} é a derivada parcial de F em relação a x tratando y e z como independentes;
  • \dfrac{\partial F}{\partial z} é a derivada parcial de F em relação a z tratando x e y como independentes;
  • z_x é a derivada parcial desconhecida que queremos.
Isolando z_x obtemos a fórmula padrão da diferenciação implícita:
z_x = -\frac{F_x}{F_z}.
De modo análogo, derivando F(x,y,z(x,y)) em relação a y (agora x constante) e aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z}\,z_y = 0 \quad\Rightarrow\quad z_y = -\frac{F_y}{F_z}.
Comentário sobre a regra da cadeia usada: quando se tem F(x,y,z(x,y)), a variação de F quando x varia tem duas partes — a variação direta por x (a parcial F_x) e a variação indireta porque z muda (a parcial F_z multiplicada por z_x). Por isso aparece a soma F_x+F_z z_x.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais \,F_x\,,\,F_y\,,\,F_z explicitamente. Vamos derivar termo a termo com atenção às regras (produto, cadeia) e lembrando que, ao calcular \partial/\partial x ou \partial/\partial y ou \partial/\partial z para F, tratamos as demais variáveis como independentes.
A função F tem quatro termos: x^{3}, z^{2}, y e^{x z} e z\cos(y).
  1. Derivada parcial em relação a x:
  • \partial(x^{3})/\partial x = 3x^{2}.
  • \partial(z^{2})/\partial x = 0 (aqui z é tratado como independente).
  • \partial\big(y e^{xz}\big)/\partial x: y é constante ao derivar em x, então aplicamos regra da cadeia ao exponencial e^{xz}. A derivada de e^{xz} em relação a x (com z tratado como constante na parcial) é z e^{xz}. Logo este termo dá y\cdot z e^{xz}.
  • \partial\big(z\cos(y)\big)/\partial x = 0 (pois z e y são independentes quando fazemos \partial/\partial x).
Portanto
F_x = 3x^{2} + y z e^{xz}.
  1. Derivada parcial em relação a y:
  • \partial(x^{3})/\partial y = 0.
  • \partial(z^{2})/\partial y = 0.
  • \partial\big(y e^{xz}\big)/\partial y = e^{xz} (derivada de y é 1, e^{xz} tratado como constante).
  • \partial\big(z\cos(y)\big)/\partial y = z\cdot(-\sin(y)) (derivada de \cos(y) é -\sin(y), z tratado como constante).
Portanto
F_y = e^{xz} - z\sin(y).
  1. Derivada parcial em relação a z:
  • \partial(x^{3})/\partial z = 0.
  • \partial(z^{2})/\partial z = 2z.
  • \partial\big(y e^{xz}\big)/\partial z: aqui y é constante e derivamos e^{xz} em relação a z; a derivada de e^{xz} em relação a z (com x constante) é x e^{xz}. Logo este termo dá y\cdot x e^{xz}=x y e^{xz}.
  • \partial\big(z\cos(y)\big)/\partial z = \cos(y) (derivada de z é 1, \cos(y) é constante na parcial).
Portanto
F_z = 2z + x y e^{xz} + \cos(y).

Passo 4

Avaliar F_x, F_y e F_z no ponto (x,y,z)=(0,0,0).
Substituindo x=0, y=0, z=0:
  • Para F_x:
F_x(0,0,0)=3\cdot 0^{2} + 0\cdot 0\cdot e^{0\cdot 0}=0.
  • Para F_y:
F_y(0,0,0)=e^{0\cdot 0} - 0\cdot \sin(0)=e^{0}-0=1.
  • Para F_z:
F_z(0,0,0)=2\cdot 0 + 0\cdot 0\cdot e^{0\cdot 0} + \cos(0)=0+0+1=1.
Observação: e^{0}=1 e \cos(0)=1, \sin(0)=0.

Passo 5

Aplicar as fórmulas de diferenciação implícita obtidas no Passo 2:
z_x = -\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y = -\frac{F_y}{F_z}.
Substituindo os valores do Passo 4:
  • Para z_x(0,0,0):
z_x(0,0,0) = -\frac{F_x(0,0,0)}{F_z(0,0,0)} = -\frac{0}{1} = 0.
  • Para z_y(0,0,0):
z_y(0,0,0) = -\frac{F_y(0,0,0)}{F_z(0,0,0)} = -\frac{1}{1} = -1.

Resposta

z_x(0,0,0)=0
z_y(0,0,0)=-1

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