Encontrar
e
em
se
define
como uma função diferenciável nas variáveis
e
, ou seja,
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
que define
como função diferenciável de
e
, ou seja
. A tarefa é encontrar as derivadas parciais de
em
:
-
— derivada parcial de em relação a no ponto ; -
— derivada parcial de em relação a no mesmo ponto.
Informações importantes fornecidas:
- A equação relaciona
, e e é válida numa vizinhança de . - É dado que
é diferenciável em e , portanto as derivadas parciais que pedem existem.
Passo 2
Idéia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Definimos a função auxiliar
Definimos a função auxiliar
A equação é
com
. Como
depende de
e
e
, a derivada total de
em relação a
deve ser zero. Aplicando a regra da cadeia (chain rule) para derivar uma função composta em que
depende de
, obtemos
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a tratando e como independentes; -
é a derivada parcial de em relação a tratando e como independentes; -
é a derivada parcial desconhecida que queremos.
Isolando
obtemos a fórmula padrão da diferenciação implícita:
De modo análogo, derivando
em relação a
(agora
constante) e aplicando a regra da cadeia:
Comentário sobre a regra da cadeia usada: quando se tem
, a variação de
quando
varia tem duas partes — a variação direta por
(a parcial
) e a variação indireta porque
muda (a parcial
multiplicada por
). Por isso aparece a soma
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais
explicitamente. Vamos derivar termo a termo com atenção às regras (produto, cadeia) e lembrando que, ao calcular
ou
ou
para
, tratamos as demais variáveis como independentes.
A função
tem quatro termos:
,
,
e
.
- Derivada parcial em relação a
:
-
. -
(aqui é tratado como independente). -
: é constante ao derivar em , então aplicamos regra da cadeia ao exponencial . A derivada de em relação a (com tratado como constante na parcial) é . Logo este termo dá . -
(pois e são independentes quando fazemos ).
Portanto
- Derivada parcial em relação a
:
-
. -
. -
(derivada de é , tratado como constante). -
(derivada de é , tratado como constante).
Portanto
- Derivada parcial em relação a
:
-
. -
. -
: aqui é constante e derivamos em relação a ; a derivada de em relação a (com constante) é . Logo este termo dá . -
(derivada de é , é constante na parcial).
Portanto
Passo 4
Avaliar
,
e
no ponto
.
Substituindo
,
,
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observação:
e
,
.
Passo 5
Aplicar as fórmulas de diferenciação implícita obtidas no Passo 2:
Substituindo os valores do Passo 4:
- Para
:
- Para
: