f(x)= \begin{cases}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x^{2}+15}-8}, & x \neq 7 \\\ a, & x=7\end{cases}
é contínua em x=7 e que b=\int_{0}^{\pi / 2} \cos 2 x \operatorname{sen} 4 x d x, o valor de \frac{a}{b} é:
(a) \frac{\sqrt{7}}{7}
(b) 2 \sqrt{7}
(c) \frac{6 \sqrt{7}}{49}
(d) \frac{4 \sqrt{7}}{49}
(e) 7 \sqrt{7}
(Resposta: (c))
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
A função é
f(x)= \begin{cases}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x^{2}+15}-8}, & x \neq 7, \\[4pt] a, & x=7.\end{cases}
O que o enunciado pede: calcular o valor de \dfrac{a}{b}.
Observação importante: como f é contínua em x=7, então a deve ser igual ao limite de \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x^{2}+15}-8} quando x\to7. Vou primeiro calcular esse limite (que dá a), e depois calcular b (a integral), e por fim a razão \dfrac{a}{b}.]
Passo 2
Calcular a=\lim_{x\to7}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x^{2}+15}-8}. Primeiro faço uma manipulação algébrica para eliminar a indeterminação 0/0.
Observação didática: quando aparece \sqrt{x}-\sqrt{c} costuma dar certo multiplicar pelo conjugado \sqrt{x}+\sqrt{c} para transformar em diferença de quadrados. Faço isso de forma útil escrevendo