Exercício 4. Sabendo-se que a função
f(x)= \begin{cases}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x^{2}+15}-8}, & x \neq 7 \\\ a, & x=7\end{cases}
é contínua em x=7 e que b=\int_{0}^{\pi / 2} \cos 2 x \operatorname{sen} 4 x d x, o valor de \frac{a}{b} é:
(a) \frac{\sqrt{7}}{7}
(b) 2 \sqrt{7}
(c) \frac{6 \sqrt{7}}{49}
(d) \frac{4 \sqrt{7}}{49}
(e) 7 \sqrt{7}
(Resposta: (c))

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • A função é
f(x)= \begin{cases}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x^{2}+15}-8}, & x \neq 7, \\[4pt] a, & x=7.\end{cases}
  • A informação: f é contínua em x=7.
  • Define-se
b=\int_{0}^{\pi/2} \cos 2x\;\operatorname{sen} 4x\;dx.
  • O que o enunciado pede: calcular o valor de \dfrac{a}{b}.
    Observação importante: como f é contínua em x=7, então a deve ser igual ao limite de \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x^{2}+15}-8} quando x\to7. Vou primeiro calcular esse limite (que dá a), e depois calcular b (a integral), e por fim a razão \dfrac{a}{b}.]

Passo 2

Calcular a=\lim_{x\to7}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x^{2}+15}-8}. Primeiro faço uma manipulação algébrica para eliminar a indeterminação 0/0.
Observação didática: quando aparece \sqrt{x}-\sqrt{c} costuma dar certo multiplicar pelo conjugado \sqrt{x}+\sqrt{c} para transformar em diferença de quadrados. Faço isso de forma útil escrevendo
\sqrt{x}-\sqrt{7}=\dfrac{x-7}{\sqrt{x}+\sqrt{7}}.
Substituo na expressão:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x^{2}+15}-8} =\frac{x-7}{\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{7}\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+15}-8\bigr)}.

Passo 3

Agora trato o denominador \sqrt{x^{2}+15}-8. Uso o conjugado \sqrt{x^{2}+15}+8 para transformar em diferença de quadrados:
\sqrt{x^{2}+15}-8=\frac{x^{2}+15-64}{\sqrt{x^{2}+15}+8} =\frac{x^{2}-49}{\sqrt{x^{2}+15}+8}.
Como x^{2}-49=(x-7)(x+7), segue
\sqrt{x^{2}+15}-8=\frac{(x-7)(x+7)}{\sqrt{x^{2}+15}+8}.
Substituo isso na fração do passo anterior:
\frac{x-7}{\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{7}\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+15}-8\bigr)} =\frac{x-7}{\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{7}\bigr)\dfrac{(x-7)(x+7)}{\sqrt{x^{2}+15}+8}}.
Agora dá para cancelar o fator (x-7) (para x\neq7), ficando
\frac{\sqrt{x^{2}+15}+8}{\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{7}\bigr)(x+7)}.

Passo 4

Agora faço o limite x\to7 substituindo x=7 na expressão simplificada (já sem indeterminação):
a=\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x^{2}+15}+8}{\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{7}\bigr)(x+7)} =\frac{\sqrt{49+15}+8}{\bigl(\sqrt{7}+\sqrt{7}\bigr)(7+7)}.
Calculo os valores:
\sqrt{49+15}=\sqrt{64}=8, \qquad \sqrt{7}+\sqrt{7}=2\sqrt{7}, \qquad 7+7=14.
Portanto
a=\frac{8+8}{(2\sqrt{7})\cdot 14}=\frac{16}{28\sqrt{7}}=\frac{4}{7\sqrt{7}}.
Para escrever de forma racionalizada:
a=\frac{4}{7\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{7}}{49}.

Passo 5

Calcular b=\int_{0}^{\pi/2}\cos 2x\;\operatorname{sen} 4x\;dx.
Primeiro uso a identidade \operatorname{sen} 4x=2\operatorname{sen} 2x\cos 2x. Então o integrando fica
\cos 2x\cdot \operatorname{sen} 4x = \cos 2x\cdot 2\operatorname{sen} 2x\cos 2x = 2\operatorname{sen} 2x\cos^{2}2x.
Outra identidade útil: \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Aplicando com \theta=2x,
\cos^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}.
Assim
2\operatorname{sen} 2x\cos^{2}2x=\operatorname{sen} 2x\bigl(1+\cos 4x\bigr)=\operatorname{sen} 2x+\operatorname{sen} 2x\cos 4x.
Então
b=\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} 2x\;dx+\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} 2x\cos 4x\;dx.
Calculo a primeira integral:
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} 2x\;dx=\left[-\tfrac{1}{2}\cos 2x\right]_{0}^{\pi/2} =-\tfrac{1}{2}\cos\pi -\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos 0\bigr) =-\tfrac{1}{2}(-1)+\tfrac{1}{2}(1)=1.
Para a segunda integral uso a identidade produto-soma:
\operatorname{sen} A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)\bigr).
Com A=2x, B=4x,
\operatorname{sen} 2x\cos 4x=\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen} 6x+\operatorname{sen}(-2x)\bigr) =\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen} 6x-\operatorname{sen} 2x\bigr).
Logo
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} 2x\cos 4x\;dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} 6x\;dx-\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} 2x\;dx.
Calculo cada termo:
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} 6x\;dx=\left[-\tfrac{1}{6}\cos 6x\right]_{0}^{\pi/2} =-\tfrac{1}{6}\cos 3\pi -\bigl(-\tfrac{1}{6}\cos 0\bigr) =-\tfrac{1}{6}(-1)+\tfrac{1}{6}(1)=\tfrac{1}{3}.
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} 2x\;dx=1 (calculada acima). Então
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} 2x\cos 4x\;dx=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}\cdot 1 =\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{3}.
Portanto
b=1+(-\tfrac{1}{3})=\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Agora calculo a razão \dfrac{a}{b} com os valores encontrados:
a=\frac{4\sqrt{7}}{49},\qquad b=\frac{2}{3}.
Logo
\frac{a}{b}=\frac{\dfrac{4\sqrt{7}}{49}}{\dfrac{2}{3}} =\frac{4\sqrt{7}}{49}\cdot\frac{3}{2} =\frac{12\sqrt{7}}{98}=\frac{6\sqrt{7}}{49}.

Resposta

(c) \dfrac{6\sqrt{7}}{49}

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