Se |A\rangle=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3 i \\\\ 1\end{array}\right],|B\rangle=\left[\begin{array}{l}i \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right] e a=4 i, determine:
e) \|B\|

Passo 1

O enunciado dá os vetores coluna
|A\rangle=\begin{pmatrix}2\\\ -3i\\\ 1\end{pmatrix},\qquad |B\rangle=\begin{pmatrix}i\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}
e pede para determinar \|B\|, ou seja, a norma do vetor |B\rangle.

Passo 2

Vou recordar a definição de norma para vetores complexos (explicando devagar, passo a passo). Para um vetor complexo |v\rangle = \begin{pmatrix}v_1\v_2\\vdots\v_n\end{pmatrix}, a norma euclidiana é definida por
\|v\| = \sqrt{\langle v\mid v\rangle},
onde \langle v\mid v\rangle é o produto interno habitual em \mathbb{C}^n:
\langle v\mid v\rangle = \sum_{k=1}^{n}\overline{v_k}\,v_k = \sum_{k=1}^{n}|v_k|^2.
Aqui \overline{v_k} significa o conjugado complexo de v_k, e |v_k|^2 é o quadrado do módulo (um número real não negativo). Em palavras: para encontrar a norma, eu somo os quadrados dos módulos de cada componente e tiro a raiz quadrada do total.

Passo 3

Aplicando isso ao vetor |B\rangle = \begin{pmatrix}i\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}:
Calculo os quadrados dos módulos de cada componente:
  • Para a primeira componente v_1=i: o conjugado é \overline{i}=-i e
\overline{i}\,i = (-i)\,i = -i^2 = -(-1)=1,
ou simplesmente |i|^2=1.
  • Para a segunda componente v_2=3 (real): |3|^2=3^2=9.
  • Para a terceira componente v_3=4 (real): |4|^2=4^2=16.
Agora somo esses valores:
\langle B\mid B\rangle = 1 + 9 + 16 = 26.

Passo 4

Finalmente, a norma é a raiz quadrada dessa soma:
\|B\| = \sqrt{\langle B\mid B\rangle} = \sqrt{26}.
Isso é um número real e positivo; se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{26}\approx 5,099019513.

Resposta

\sqrt{26}

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