Se h(8)=4 e h^prime(8)=-3, encontre
dd x(h(x)raiz[3]x^2)|x=8

Passo 1

O enunciado pede a derivada em x=8 da função
f(x)=h(x)raiz[3]x^2
Aqui vamos usar a regra do produto (escrevendo raiz[3]x^2=x^2/3) e a regra da cadeia para derivar x^-2/3.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=h(x),x^-23,
aplicamos a regra do produto:
f'(x) = h'(x),x^-23 + h(x),ddxl(x^-tfrac23r)
Pela regra da potência,
ddxl(x^-tfrac23r) =-tfrac23,x^-tfrac53,
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f'(x) = h'(x),x^-23 - 23,h(x),x^-53

Passo 3

Agora avaliamos em x=8. Primeiro calculamos as potências:
8^-23 = (2^3)^-tfrac23 = 2^-2 = tfrac14, 8^-53 = (2^3)^-tfrac53 = 2^-5 = tfrac132

Passo 4

Substituindo h(8)=4 e h'(8)=-3 temos
f'(8) = (-3)cdottfrac14 - 23cdot 4cdottfrac132 = -tfrac34 - 896 = -tfrac34 - tfrac112 = -tfrac912 - tfrac112 = -tfrac1012 = -tfrac56

Resposta

-56

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