Em quais pontos as seguintes funções possuem tangentes horizontais
f(x)=2 x^3+3 x^2-12 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x e precisa descobrir em quais pontos essa função tem tangentes horizontais. Isso significa que a inclinação da reta tangente é zero nesses pontos. Para resolver isso, vamos usar a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em cada ponto. A regra básica para derivar é diminuir o expoente em 1 e multiplicar pelo coeficiente.
Então, derivando f(x) :
f'(x) = ddx(2x^3) + ddx(3x^2) - ddx(12x)
f'(x) = 6x^2 + 6x - 12

Passo 3

Agora, queremos encontrar onde a tangente é horizontal. Isso acontece quando a derivada é igual a zero. Então, vamos resolver a equação:
6x^2 + 6x - 12 = 0
Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
x^2 + x - 2 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
(x + 2)(x - 1) = 0
Então, as soluções são:
x + 2 = 0 Rightarrow x = -2
x - 1 = 0 Rightarrow x = 1

Passo 4

Encontramos os valores de x onde a tangente é horizontal: x = -2 e x = 1 . Agora, vamos achar os valores correspondentes de f(x) para esses x .
Para x = -2 :
f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2)
f(-2) = 2(-8) + 3(4) + 24
f(-2) = -16 + 12 + 24 = 20
Para x = 1 :
f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1)
f(1) = 2(1) + 3(1) - 12
f(1) = 2 + 3 - 12 = -7

Resposta

As funções têm tangentes horizontais nos pontos (-2, 20) e (1, -7) .

Exercícios relacionados