Em quais pontos as seguintes funções possuem tangentes horizontais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir em quais pontos essa função tem tangentes horizontais. Isso significa que a inclinação da reta tangente é zero nesses pontos. Para resolver isso, vamos usar a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em cada ponto. A regra básica para derivar é diminuir o expoente em 1 e multiplicar pelo coeficiente.
Então, derivando
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar onde a tangente é horizontal. Isso acontece quando a derivada é igual a zero. Então, vamos resolver a equação:
Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 4
Encontramos os valores de
onde a tangente é horizontal:
e
. Agora, vamos achar os valores correspondentes de
para esses
.
Para
:
Para
:
Resposta
As funções têm tangentes horizontais nos pontos
e
.