Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando cálculo.
2. a) f(x, y)=1-(x+1)^2-(y-5)^2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=1−(x+1)²−(y−5)², que é um paraboloide voltado para baixo. O objetivo é achar extremos absolutos por inspeção e depois confirmar usando cálculo (pontos críticos, gradiente e Hessiano).

Passo 2

Observando que −(x+1)²−(y−5)² é sempre ≤0, vemos que f atinge seu maior valor quando essas parcelas quadráticas forem zero. Logo, por inspeção o máximo absoluto ocorre em x+1=0 e y−5=0, ou seja, em (x,y)=(-1,5), com f(-1,5)=1. Como f→−∞ quando x²+y²→∞, não existe mínimo absoluto.

Passo 3

Agora vamos ao cálculo: computamos o gradiente. Temos ∂f/∂x=−2(x+1) e ∂f/∂y=−2(y−5). Igualando a zero, vem x+1=0 e y−5=0, confirmando o ponto crítico (-1,5).

Passo 4

Para classificar, usamos o Hessiano. Como f é quadraticamente f(x,y)=1−(x+1)²−(y−5)², o Hessiano é matriz constante
Hf=-2 & 0 0 & -2
que é negativo definido. Isso garante que o ponto crítico é um máximo local. Como por inspeção f tende a −∞ longe de (-1,5), esse máximo local é também absoluto.

Resposta

Máximo absoluto em (-1,5) com valor f(-1,5)=1. Não há mínimo absoluto (f→−∞).

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