Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando cálculo.
2. a)
2. a)
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=1−(x+1)²−(y−5)², que é um paraboloide voltado para baixo. O objetivo é achar extremos absolutos por inspeção e depois confirmar usando cálculo (pontos críticos, gradiente e Hessiano).
Passo 2
Observando que −(x+1)²−(y−5)² é sempre ≤0, vemos que f atinge seu maior valor quando essas parcelas quadráticas forem zero. Logo, por inspeção o máximo absoluto ocorre em x+1=0 e y−5=0, ou seja, em (x,y)=(-1,5), com f(-1,5)=1. Como f→−∞ quando x²+y²→∞, não existe mínimo absoluto.
Passo 3
Agora vamos ao cálculo: computamos o gradiente. Temos ∂f/∂x=−2(x+1) e ∂f/∂y=−2(y−5). Igualando a zero, vem x+1=0 e y−5=0, confirmando o ponto crítico (-1,5).
Passo 4
Para classificar, usamos o Hessiano. Como f é quadraticamente f(x,y)=1−(x+1)²−(y−5)², o Hessiano é matriz constante
que é negativo definido. Isso garante que o ponto crítico é um máximo local. Como por inspeção f tende a −∞ longe de (-1,5), esse máximo local é também absoluto.
Resposta
Máximo absoluto em (-1,5) com valor f(-1,5)=1. Não há mínimo absoluto (f→−∞).