Encontre o ângulo entre a reta que passa pelos pontos A=(0,1,2) e B=(3,-2,0), e a reta que passa por C=(2,0,-1) e D=(1,2,3)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o ângulo entre a reta que passa por A=(0,1,2) e B=(3,-2,0) e a reta que passa por C=(2,0,-1) e D=(1,2,3). O conteúdo é geometria vetorial em R^3: vamos precisar dos vetores-direção dessas retas e da fórmula do produto escalar para achar o ângulo.
A fórmula-chave é
costheta = l|v1cdotv2r||v1|;|v2|

Passo 2

Calcular o vetor-direção da reta AB:
AB = B - A = (3-0,;-2-1,;0-2) = (3,,-3,,-2)

Passo 3

Calcular o vetor-direção da reta CD:
CD = D - C = (1-2,;2-0,;3-(-1)) = (-1,;2,;4)

Passo 4

Calcular o produto escalar entre AB e CD:
ABcdotCD = 3cdot(-1) + (-3)cdot2 + (-2)cdot4 = -3 -6 -8 = -17

Passo 5

Calcular as normas dos vetores:
|AB| = raiz3^2 + (-3)^2 + (-2)^2 = raiz22, |CD| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 4^2 = raiz21

Passo 6

Aplicar a fórmula do cosseno e extrair o ângulo:
costheta = l|ABcdotCDr||AB|;|CD| = 17raiz22,raiz21 = 17raiz462
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theta = arccos!l(17raiz462r)approx37,9^circ

Resposta

theta = arccos!l(17/raiz462r)approx37,9^circ.

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