Encontre o ângulo entre as retas:
r1:lx-y+z=0 2 x+y-3 z=1, r2:lx=2 lambda y=1-lambda z=1+lambda

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas no espaço. A reta r1 está dada como interseção de dois planos, e a reta r2 está em forma paramétrica. O conteúdo envolvido é o produto escalar e norma de vetores diretores. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar um vetor diretor de r1 como o produto vetorial dos normais dos planos.
  2. Ler diretamente o vetor diretor de r2.
  3. Aplicar a fórmula
costheta = l|d1cdot d2r||d1|;|d2|

Passo 2

Obtemos o vetor diretor de r1 cruzando os vetores normais dos planos:
n1 = (1,,-1,,1), n2 = (2,,1,,-3)
O produto vetorial d1 = n1times n2
d1 = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & 1 & -3 = (2,,5,,3)
Para r2, o vetor diretor é o coeficiente de lambda na forma paramétrica:
d2 = (2,,-1,,1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
d1cdot d2 = 2cdot2 + 5cdot(-1) + 3cdot1 = 4 - 5 + 3 = 2,
|d1| = raiz2^2 + 5^2 + 3^2 = raiz4 + 25 + 9 = raiz38, |d2| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz6

Passo 4

Usando a fórmula do ângulo,
costheta = l|d1cdot d2r||d1|;|d2| = 2raiz38,raiz6 = 2raiz228 = 22raiz57 = 1raiz57
Logo,
theta = arccos!l(tfrac1raiz57r)

Resposta

theta = arccos!l(tfrac1raiz57r).

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