Encontre o ângulo entre as retas:
r1:lx=lambda y=-lambda z=2 lambda, r2:lx=1+2 lambda y=1-2 lambda z=2+4 lambda

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as retas
r1:x=lambda,;y=-lambda,;z=2lambda
e
r2:x=1+2lambda,;y=1-2lambda,;z=2+4lambda.
Estamos em Geometria Analítica no espaço e vamos usar o fato de que o ângulo entre duas retas é o mesmo ângulo entre seus vetores diretores.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores das retas a partir dos coeficientes de lambda. Para r1 temos
v1 = (1,,-1,,2)
e para r2 temos
v2 = (2,,-2,,4)

Passo 3

Aplicamos a definição do produto escalar e calculamos módulos:
v1cdot v2 = 1cdot2 + (-1)cdot(-2) + 2cdot4 = 2 + 2 + 8 = 12,
|v1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz6, |v2| = raiz2^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz24 = 2raiz6

Passo 4

Usamos a fórmula do cosseno do ângulo theta entre vetores:
costheta = v1cdot v2|v1|,|v2| = 12raiz6cdot 2raiz6 = 1212 = 1

Passo 5

Como costheta = 1, concluímos que
theta = 0
Isso indica que as retas são paralelas.

Resposta

theta = 0

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