Verificar quais dos seguintes conjuntos vetores formam uma base do \mathbb{R}^{3} : \{(1,2,3),(4,1,2)\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \{(1,2,3),\,(4,1,2)\} forma uma base de \mathbb{R}^{3}.
Lembrando que, em \mathbb{R}^{3}, uma base precisa de exatamente três vetores que sejam linearmente independentes e gerem todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos checar a independência linear. Dois vetores em \mathbb{R}^{3}\) são linearmente independentes se nenhum é múltiplo escalar do outro. Suponha que existam \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que
\[\alpha(1,2,3)+\beta(4,1,2)=(0,0,0).
Das duas primeiras equações temos \alpha=-4\beta\] e \(2(-4\beta)+\beta=0\implies -8\beta+\beta=0\implies -7\beta=0\implies\beta=0, logo \alpha=0. A terceira equação fica 3\cdot0+2\cdot0=0, consistente. Portanto os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, para formar base de \mathbb{R}^{3} precisamos também que o conjunto gere (espalhe) todo o espaço. Mas como temos apenas dois vetores em \mathbb{R}^{3}, o subespaço gerado tem dimensão no máximo 2 e não pode coincidir com \mathbb{R}^{3}, que tem dimensão 3. Logo não há geração completa do espaço.
Resposta
O conjunto \{(1,2,3),(4,1,2)\}não forma uma base de \mathbb{R}^{3}, pois faltaria um terceiro vetor para gerar todo o espaço.