Dados os vetores \mathbf{a}=[2,1,4], \mathbf{b}=[-4,0,3] e \mathbf{c}=[3,-2,1], determine:
\|\mathbf{b}+\mathbf{c}\| e \|\mathbf{b}\|+\|\mathbf{c}\|

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\mathbf{a} = [2,1,4],\qquad \mathbf{b} = [-4,0,3],\qquad \mathbf{c} = [3,-2,1]
e pede dois valores:
  • calcular \|\mathbf{b}+\mathbf{c}\|;
  • calcular \|\mathbf{b}\|+\|\mathbf{c}\|.
Aqui estão os dados relevantes que vamos usar: as componentes de \mathbf{b} são (-4,0,3) e as de \mathbf{c} são (3,-2,1). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vou lembrar a definição que usarei (é uma ferramenta essencial e simples): para um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^3, a norma (ou comprimento) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Aqui \mathbf{v}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar do vetor por ele mesmo, que dá a soma dos quadrados das componentes. Vou aplicar exatamente isso aos vetores envolvidos.

Passo 3

Calcular \mathbf{b}+\mathbf{c} componente a componente:
\mathbf{b}+\mathbf{c}=(-4+3,\;0+(-2),\;3+1)=(-1,-2,4).
Portanto
\mathbf{b}+\mathbf{c}=[-1,-2,4].

Passo 4

Agora calculo a norma de \mathbf{b}+\mathbf{c} usando a definição:
\|\mathbf{b}+\mathbf{c}\|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}.
Se quiser uma ideia numérica, \sqrt{21}\approx 4,5826, mas o valor exato pedido é \sqrt{21}.

Passo 5

Calculo a norma de \mathbf{b}. Usando as componentes de \mathbf{b}=(-4,0,3):
\|\mathbf{b}\|=\sqrt{(-4)^2+0^2+3^2}=\sqrt{16+0+9}=\sqrt{25}=5.
Aqui deu um quadrado perfeito, então é exatamente 5.

Passo 6

Calculo a norma de \mathbf{c}. Com \mathbf{c}=(3,-2,1):
\|\mathbf{c}\|=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.
Uma aproximação seria \sqrt{14}\approx 3,7417, mas o resultado exato é \sqrt{14}.

Passo 7

Agora somo as normas calculadas:
\|\mathbf{b}\|+\|\mathbf{c}\|=5+\sqrt{14}.
Como checagem rápida, a desigualdade triangular diz que \|\mathbf{b}+\mathbf{c}\|\le \|\mathbf{b}\|+\|\mathbf{c}\|. Numérico: \sqrt{21}\approx 4,5826 e 5+\sqrt{14}\approx 8,7417, logo a desigualdade é satisfeita — apenas uma verificação intuitiva.

Resposta

\sqrt{21}
5+\sqrt{14}

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