Encontre o ângulo entre os vetores gradiente de f(x, y)=ln (yx) nos pontos A=(1 / 2,1 / 4) e B=(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre os vetores gradiente da função $ f(x, y) = \ln\left(\frac{y}{x}\right) $ nos pontos $ A = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) $ e $ B = (1, 1) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradientes e ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
A função dada é:
f(x, y)
Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f(x, y) = ln(yx)
  • Derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f
Então, o vetor gradiente $ \nabla f $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor gradiente nos pontos $ A $ e $ B $.
Para o ponto $ A = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) $:
A
Para o ponto $ B = (1, 1) $:
B

Passo 4

Com os vetores gradiente em mãos, vamos calcular o ângulo entre eles. A fórmula para o ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $ é:
theta
Onde:
  • $ \vec{u} \cdot \vec{v} $ é o produto escalar dos vetores.
  • $ ||\vec{u}|| $ e $ ||\vec{v}|| $ são as normas (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
Produto escalar:
u
Norma de $ \vec{u} = (-2, 4) $:
v
Norma de $ \vec{v} = (-1, 1) $:
cos theta = u cdot v||u|| , ||v||
Agora, substituímos na fórmula:
u cdot v
Para encontrar o ângulo $ \theta $, aplicamos a função arco cosseno:
||u||

Resposta

O ângulo entre os vetores gradiente nos pontos $ A $ e $ B $ é aproximadamente $ 18,43^\circ $.

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