Encontre
ângulo entre os vetores gradiente de
nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre os vetores gradiente da função $ f(x, y) = \ln\left(\frac{y}{x}\right) $ nos pontos $ A = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) $ e $ B = (1, 1) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradientes e ângulo entre vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
A função dada é:
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
- Derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Então, o vetor gradiente $ \nabla f $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor gradiente nos pontos $ A $ e $ B $.
Para o ponto $ A = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) $:
Para o ponto $ B = (1, 1) $:
Passo 4
Com os vetores gradiente em mãos, vamos calcular o ângulo entre eles. A fórmula para o ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $ é:
Onde:
- $ \vec{u} \cdot \vec{v} $ é o produto escalar dos vetores.
- $ ||\vec{u}|| $ e $ ||\vec{v}|| $ são as normas (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
Produto escalar:
Norma de $ \vec{u} = (-2, 4) $:
Norma de $ \vec{v} = (-1, 1) $:
Agora, substituímos na fórmula:
Para encontrar o ângulo $ \theta $, aplicamos a função arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre os vetores gradiente nos pontos $ A $ e $ B $ é aproximadamente $ 18,43^\circ $.