Sejam
e
funçōes diferenciáveis no subconjunto aberto
. Deduzir as seguintes propriedades do vetor gradiente:
se
d constante em
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se uma função
diferenciável em
é constante em
, então seu vetor gradiente é o vetor nulo.
Passo 2
Como
é constante em
, existe uma constante
tal que
para todo
. Pela definição de derivada parcial, para cada
temos:
Passo 3
O vetor gradiente é definido por
Como cada derivada parcial é zero, concluímos que
para todo
.