Sejam f e g funçōes diferenciáveis no subconjunto aberto D subset R^m. Deduzir as seguintes propriedades do vetor gradiente:
nabla f=0 se f d constante em D;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se uma função f diferenciável em DsubsetR^m é constante em D, então seu vetor gradiente é o vetor nulo.

Passo 2

Como f é constante em D, existe uma constante C tal que f(x)=C para todo xin D. Pela definição de derivada parcial, para cada i=1,2,dots,m temos:
partial fpartial xi(x)=limhto0f(x+h,ei)-f(x)h =limhto0C-Ch=0

Passo 3

O vetor gradiente é definido por
nabla f(x)=gl(partial fpartial x1(x),dots,partial fpartial xm(x)gr)
Como cada derivada parcial é zero, concluímos que nabla f(x)=0 para todo xin D.

Resposta

nabla f=0 em todo D.

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