Encontre o gradiente de
no ponto dado, quando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função $ f(x, y, z) = x^{3} + y^{3} - 3xyz $ no ponto $ X_{0} = (2, 1, 1) $. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais em multivariáveis, que faz parte do estudo de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y, z) $ é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável. Ou seja,
Então, nosso objetivo é calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 5
E, por último, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, montamos o vetor gradiente:
Passo 7
Vamos substituir as coordenadas do ponto $ X_{0} = (2, 1, 1) $ nas partículas do gradiente:
Passo 8
Calculando cada componente:
Resposta
O gradiente de $ f $ no ponto $ (2, 1, 1) $ é $ \nabla f(2,1,1) = (9,\ -3,\ -6) $.