Encontre o gradiente de f no ponto dado, quando:
f(x, y, z)=x^3+y^3-3 x y z ; X0=(2,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função $ f(x, y, z) = x^{3} + y^{3} - 3xyz $ no ponto $ X_{0} = (2, 1, 1) $. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais em multivariáveis, que faz parte do estudo de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y, z) $ é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável. Ou seja,
f(x, y, z)
Então, nosso objetivo é calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f

Passo 4

Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f

Passo 5

E, por último, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $:
f

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, montamos o vetor gradiente:
nabla f = ( 3x^2 - 3yz, 3y^2 - 3xz, -3xy )

Passo 7

Vamos substituir as coordenadas do ponto $ X_{0} = (2, 1, 1) $ nas partículas do gradiente:
X0 = (2, 1, 1)

Passo 8

Calculando cada componente:
partial fpartial x(2,1,1) &= 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 partial fpartial y(2,1,1) &= 3(1) - 6 = 3 - 6 = -3 partial fpartial z(2,1,1) &= -6

Resposta

O gradiente de $ f $ no ponto $ (2, 1, 1) $ é $ \nabla f(2,1,1) = (9,\ -3,\ -6) $.

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