Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral x^3+x+11+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a família de primitivas de
integral x^3+x+11+x^2,dx.
O conteúdo é integração imediata de função racional, que vamos resolver com divisão de polinômios e uso de integrais básicas.

Passo 2

Fazemos a divisão de polinômios:
x^3+x+11+x^2 = x + 11+x^2,
pois x(x^2+1)=x^3+x e sobra 1 no numerador.

Passo 3

Integramos termo a termo:
integral x,dx = x^22,
integral 11+x^2,dx = arctan x
Logo, uma primitiva geral é
x^22 + arctan x + C

Passo 4

Verificamos derivando:
ddxl(x^22 + arctan xr) = x + 11+x^2 = x^3+x+11+x^2,
que coincide com o integrando.

Resposta

x^22 + arctan x + C

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