Encontre uma antiderivada para as funções abaixo:
(2 x-1)^4

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar uma antiderivada de f(x) = (2x - 1)^4. O conteúdo é antiderivadas (integrais indefinidas) e vamos usar a regra da substituição para funções compostas.

Passo 2

Faremos a substituição u = 2x - 1, de modo que du = 2,dx e portanto dx = du2. Essa técnica facilita ao transformar a integral para uma forma mais básica.

Passo 3

Reescrevemos a integral original aplicando a substituição:
integral (2x - 1)^4,dx = integral u^4 cdot du2 = 12 integral u^4,du
Aqui usamos a linearidade da integral para tirar o fator tfrac12 para fora.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^4. Sabemos que
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C
Logo,
integral u^4,du = u^55 + C
Multiplicando pelo fator tfrac12, obtemos u^510 + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = 2x - 1 e concluímos que uma antiderivada de f(x) é
(2x - 1)^510 + C

Resposta

(2x-1)^510 + C

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