Encontre uma antiderivada para as funções abaixo:
e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma antiderivada da função e^3x. Isso faz parte de cálculo de integrais indefinidas, mais especificamente a antiderivada de uma exponencial composta, e vamos usar a regra básica de integração para funções da forma e^ax.

Passo 2

Lembrando da teoria: a derivada de e^ax em relação a x é a e^ax. Para inverter esse processo na integral, precisamos compensar o fator a que surge ao derivar.
Para formalizar, fazemos a substituição u = 3x. Então du = 3,dx, ou seja, dx = tfrac13,du.

Passo 3

Substituindo na integral original temos
integral e^3x,dx = integral e^u cdot tfrac13,du = tfrac13 integral e^u,du
Integrando e^u obtemos integral e^u,du = e^u + C. Portanto a antiderivada fica
tfrac13e^u + C
Voltando para x, substituímos u=3x.

Resposta

tfrac13e^3x + C

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