Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
f(x)=cossec x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função $ f(x) = \operatorname{cossec} , x $. Estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente a cosecante. Para resolver, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como a função cosecante se comporta no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função $ \operatorname{cossec} , x $. A cosecante é definida como o inverso do seno, ou seja:
cossec , x
Para que essa função exista, o denominador $ \sin x $ não pode ser zero, porque não podemos dividir por zero.

Passo 3

Então, precisamos encontrar os valores de $ x $ onde $ \sin x \neq 0 $. Sabemos que o seno de $ x $ é zero em todos os múltiplos de $ \pi $ (ou 180 graus). Portanto, $ \sin x = 0 $ quando:
x éú

Passo 4

Com isso, o domínio da função $ \operatorname{cossec} , x $ é todos os números reais exceto os múltiplos de $ \pi $. Em notação matemática, isso fica:
cossec , x í

Passo 5

Agora, para esboçar o gráfico da função $ \operatorname{cossec} , x $, vamos lembrar que como é o inverso do seno, onde o seno tem seus zeros, a cosecante terá assíntotas verticais (linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca). A função também terá picos e vales onde o seno atinge 1 e -1.
A cosecante tem um período de $ 2\pi $, o que significa que o padrão do gráfico se repete a cada $ 2\pi $ unidades.

Passo 6

No gráfico:
  • As assíntotas verticais ocorrem em $ x = n\pi $.
  • Quando $ \sin x = 1 $, $ \operatorname{cossec} , x = 1 $.
  • Quando $ \sin x = -1 $, $ \operatorname{cossec} , x = -1 $.
  • Entre os múltiplos de $ \pi $, o gráfico se curva para cima ou para baixo dependendo do sinal do seno.

Resposta

O domínio da função $ f(x) = \operatorname{cossec} , x $ é todos os números reais exceto os múltiplos de $ \pi $, ou seja:
f(x) = cossec , x í
O gráfico da função apresenta assíntotas verticais em $ x = n\pi $, com a função se aproximando dessas linhas mas nunca tocando, e comporta-se de forma periódica com um período de $ 2\pi $.

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