Faça um estudo dirigido abordando o Teorema de Stokes e o Teorema de Gauss, apresentando pelo menos dois exemplos numéricos resolvidos e dois exemplos de aplicação para cada teorema.

Passo 1

O que veremos aqui é um panorama sobre dois teoremas fundamentais do cálculo vetorial: o Teorema de Stokes e o Teorema de Gauss (ou Divergência). A ideia é entender o que cada um diz, por que faz sentido do ponto de vista físico e geométrico, fazer dois exemplos numéricos passo a passo e depois mostrar duas aplicações práticas para cada um.
Conteúdo e ferramentas necessárias: vetores, campos vetoriais, integrais de linha, integrais de superfície, divergência e rotacional. Vamos usar conceitos de orientação de superfícies e curvas, e lembrar das definições de:
– Divergência: para um campo
F(x,y,z) = (P,Q,R),
temos
divF = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
– Rotacional:
nabla times F = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,,partial Ppartial z-partial Rpartial x,,partial Qpartial x-partial Ppartial yr)

Passo 2

Teorema de Stokes – enunciado: Se S é uma superfície lisa com fronteira fechada partial S, orientada de maneira consistente, e F é um campo vetorial suficientemente suave, então
integral duplaS (nabla times F) cdot ,dS = ointpartial S F cdot ,dr
Intuitivamente, relaciona a soma de torques (rotacional) sobre a superfície com a circulação na sua borda.

Passo 3

Exemplo Numérico 1 (Stokes): Seja
F(x,y,z) = (y,,z,,x)
e S parte da parábola z = 4 - x^2 - y^2 acima do plano z=0, orientada para cima. A borda partial S é o círculo x^2+y^2=4,,z=0, orientado positivamente.
1) Calcular nabla times F = (1 - 1,,1 - 1,,1 - 1) = (0,0,0)
2) Logo a integral de superfície é zero:
integral duplaS (nabla times F)cdot dS = 0
  1. Pela Stokes, a integral de linha ao redor da curva também é zero. De fato, parametrize r(t)=(2cos t,2sin t,0) e veja que
F(r(t))cdot r'(t)= (2sin t,0,2cos t)cdot(-2sin t,2cos t,0)=0
Integrando de 0 a 2pi dá 0.

Passo 4

Exemplo Numérico 2 (Stokes): Seja
F(x,y,z)=(x^2,,y^2,,z^2)
e S o semicírculo no plano y=0 para 0<= x<=1, z=raiz1-x^2, orientado com normal para dentro. A borda são três curvas (arco e dois segmentos). É mais fácil usar Stokes do que calcular cada integral de linha separada.
1) Rotacional:
nablatimes F = (0 - 0,,0-0,,2x-2y) = (0,0,2(x-y))
  1. Superfície plana (semicírculo) tem dS = dA e normal (0,1,0) ou (0,-1,0) dependendo da orientação. Ajustando a orientação, só entra a componente y do rotacional que é zero. Logo a integral de superfície é zero de novo, e a integral de linha ao longo de todas as bordas também será zero. (Exercício para praticar a parametrização das três partes.)

Passo 5

Aplicações do Teorema de Stokes:
  1. Eletromagnetismo – Lei de Ampère-Maxwell: a circulação de B em torno de um circuito fechado é igual à corrente elétrica mais a variação do fluxo elétrico. Exemplo: cálculo do campo magnético de um fio retilíneo usando um caminho circular.
  2. Mecânica dos Fluidos – circulação e vorticidade: a integral de linha da velocidade em torno de um contorno mede o vorticidade total na região interna.

Passo 6

Teorema de Gauss – enunciado: Para um sólido V com fronteira partial V, e campo suave F, temos
integral triplaV (nabla cdot F) ,dV = integral duplapartial V F cdot ,dS
Relaciona a soma local de fontes (divergência) com o fluxo total através da superfície.

Passo 7

Exemplo Numérico 1 (Gauss): Seja
F(x,y,z) = (x, y, z)
Tomemos a esfera de raio R. Então
nablacdot F = 1+1+1 =3
Aplicando Gauss:
integral triplaV 3,dV = 3 cdot 43pi R^3 = 4pi R^3
E o fluxo pela superfície:
Fcdot n = (x,y,z)cdot(x,y,z)R = x^2+y^2+z^2R=R
Fluxo = Rtimesárea = Rcdot4pi R^2 = 4pi R^3á Confere.

Passo 8

Exemplo Numérico 2 (Gauss): Seja
F(x,y,z)=(2x,3y^2,z^3)
Sobre o paralelepípedo 0<= x,y,z<=1. Calculamos
nablacdot F = 2 + 6y + 3z^2
Logo
integral triplaV (2+6y+3z^2),dV = integral0^1integral0^1integral0^1 (2+6y+3z^2),dx,dy,dz
Resolvendo:
=integral0^1integral0^1 [2x+6xy+3xz^2]0^1 dy dz = integral0^1integral0^1 (2+6y+3z^2) dy dz
Integre em y:
integral0^1 (2+6y+3z^2)dy = 2+3+3z^2 =5+3z^2
Depois em z:
integral0^1(5+3z^2)dz =5 + 1 =6
Assim o fluxo total pela casca do paralelepípedo é 6.

Passo 9

Aplicações do Teorema de Gauss:
  1. Eletrostática – Lei de Gauss: o fluxo do campo elétrico E através de uma superfície fechada é proporcional à carga interna. Exemplo: calcular o campo elétrico de uma esfera carregada homogênea.
  2. Dinâmica de fluidos – conservação de massa: a divergência da velocidade é taxa de variação volumétrica do fluido; ao aplicar Gauss, relaciona-se o volume com o fluxo através da fronteira.

Passo 10

Espero que esse guia com definições, dois exemplos numéricos e aplicações práticas ajude a fixar a intuição por trás de Stokes e Gauss!

Resposta

Estudamos a formulação de Stokes (relacionando circulação na borda com rotacional na superfície) e de Gauss (relacionando fluxo na superfície com divergência no volume), fizemos dois exemplos numéricos resolvidos para cada um e mostramos duas aplicações práticas em eletromagnetismo e mecânica dos fluidos.

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