Faça um estudo dirigido abordando o Teorema de Stokes e o Teorema de Gauss, apresentando pelo menos dois exemplos numéricos resolvidos e dois exemplos de aplicação para cada teorema.
Passo 1
O que veremos aqui é um panorama sobre dois teoremas fundamentais do cálculo vetorial: o Teorema de Stokes e o Teorema de Gauss (ou Divergência). A ideia é entender o que cada um diz, por que faz sentido do ponto de vista físico e geométrico, fazer dois exemplos numéricos passo a passo e depois mostrar duas aplicações práticas para cada um.
Conteúdo e ferramentas necessárias: vetores, campos vetoriais, integrais de linha, integrais de superfície, divergência e rotacional. Vamos usar conceitos de orientação de superfícies e curvas, e lembrar das definições de:
– Divergência: para um campo
Conteúdo e ferramentas necessárias: vetores, campos vetoriais, integrais de linha, integrais de superfície, divergência e rotacional. Vamos usar conceitos de orientação de superfícies e curvas, e lembrar das definições de:
– Divergência: para um campo
temos
– Rotacional:
Passo 2
Teorema de Stokes – enunciado: Se
é uma superfície lisa com fronteira fechada
, orientada de maneira consistente, e
é um campo vetorial suficientemente suave, então
Intuitivamente, relaciona a soma de torques (rotacional) sobre a superfície com a circulação na sua borda.
Passo 3
Exemplo Numérico 1 (Stokes): Seja
e
1) Calcular
2) Logo a integral de superfície é zero:
- Pela Stokes, a integral de linha ao redor da curva também é zero. De fato, parametrize
e veja que
Integrando de
Passo 4
Exemplo Numérico 2 (Stokes): Seja
e
1) Rotacional:
- Superfície plana (semicírculo) tem
e normal ou dependendo da orientação. Ajustando a orientação, só entra a componente do rotacional que é zero. Logo a integral de superfície é zero de novo, e a integral de linha ao longo de todas as bordas também será zero. (Exercício para praticar a parametrização das três partes.)
Passo 5
Aplicações do Teorema de Stokes:
- Eletromagnetismo – Lei de Ampère-Maxwell: a circulação de
em torno de um circuito fechado é igual à corrente elétrica mais a variação do fluxo elétrico. Exemplo: cálculo do campo magnético de um fio retilíneo usando um caminho circular. - Mecânica dos Fluidos – circulação e vorticidade: a integral de linha da velocidade em torno de um contorno mede o vorticidade total na região interna.
Passo 6
Teorema de Gauss – enunciado: Para um sólido
com fronteira
, e campo suave
, temos
Relaciona a soma local de fontes (divergência) com o fluxo total através da superfície.
Passo 7
Exemplo Numérico 1 (Gauss): Seja
Tomemos a esfera de raio
Aplicando Gauss:
E o fluxo pela superfície:
Fluxo =
Confere.
Passo 8
Exemplo Numérico 2 (Gauss): Seja
Sobre o paralelepípedo
Logo
Resolvendo:
Integre em
:
Depois em
Assim o fluxo total pela casca do paralelepípedo é 6.
Passo 9
Aplicações do Teorema de Gauss:
- Eletrostática – Lei de Gauss: o fluxo do campo elétrico
através de uma superfície fechada é proporcional à carga interna. Exemplo: calcular o campo elétrico de uma esfera carregada homogênea. - Dinâmica de fluidos – conservação de massa: a divergência da velocidade é taxa de variação volumétrica do fluido; ao aplicar Gauss, relaciona-se o volume com o fluxo através da fronteira.
Passo 10
Espero que esse guia com definições, dois exemplos numéricos e aplicações práticas ajude a fixar a intuição por trás de Stokes e Gauss!
Resposta
Estudamos a formulação de Stokes (relacionando circulação na borda com rotacional na superfície) e de Gauss (relacionando fluxo na superfície com divergência no volume), fizemos dois exemplos numéricos resolvidos para cada um e mostramos duas aplicações práticas em eletromagnetismo e mecânica dos fluidos.