Encontre a antiderivada mais geral da função
(b) Encontre
, sabendo que
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas tarefas: (a) encontrar a antiderivada mais geral de
e (b) determinar
a partir de
com as condições
e
. Vamos usar regras básicas de integração e resolver um problema de valor inicial por meio de integrações sucessivas.
Passo 2
Na parte (a), integramos termo a termo usando
Aplicando a cada parcela:
Passo 3
Somando todos os termos e adicionando a constante genérica
, obtemos a antiderivada mais geral:
Passo 4
Na parte (b), temos
Integramos uma vez para obter
, introduzindo uma constante
:
Passo 5
Integramos
para achar
, adicionando uma nova constante
:
Passo 6
Usamos as condições
e
. Para
:
Para
:
Passo 7
Substituindo
e
em
, a solução do problema de valor inicial é
Resposta
(a)
(b)