Encontre a antiderivada mais geral da função
f(x)=raizx-7 x^-3 / 4+3 e^x+7 sec ^2 x+pi
(b) Encontre f, sabendo que f^prime prime(x)=-3 e^x+4 sen x, f(0)=0 e f(pi)=0 .

Passo 1

O enunciado pede duas tarefas: (a) encontrar a antiderivada mais geral de
f(x)=raizx-7 x^-3 / 4+3 e^x+7 sec ^2 x+pi
e (b) determinar f(x) a partir de
f''(x)=-3 e^x+4 sin x
com as condições f(0)=0 e f(pi)=0. Vamos usar regras básicas de integração e resolver um problema de valor inicial por meio de integrações sucessivas.

Passo 2

Na parte (a), integramos termo a termo usando
integral x^n dx = x^n+1n+1, integral e^x dx = e^x, integral sec^2 x dx = tan x, integral a,dx = a x
Aplicando a cada parcela:
integral raizx,dx = integral x^1/2dx = 23x^3/2,
integral -7 x^-3/4dx = -7x^1/41/4 = -28 x^1/4,
integral 3 e^x dx = 3 e^x, integral 7 sec^2 x dx = 7 tan x, integral pi,dx = pi x

Passo 3

Somando todos os termos e adicionando a constante genérica C, obtemos a antiderivada mais geral:
F(x)=23x^3/2-28 x^1/4+3 e^x+7 tan x+pi x+C

Passo 4

Na parte (b), temos
f''(x)=-3 e^x+4 sin x
Integramos uma vez para obter f'(x), introduzindo uma constante C1:
f'(x)=integral(-3 e^x+4 sin x),dx=-3 e^x-4 cos x+C1

Passo 5

Integramos f'(x) para achar f(x), adicionando uma nova constante C2:
f(x)=integral(-3 e^x-4 cos x+C1),dx=-3 e^x-4 sin x+C1 x+C2

Passo 6

Usamos as condições f(0)=0 e f(pi)=0. Para x=0:
f(0)=-3 e^0-4sin 0+C1cdot0+C2=-3+0+0+C2=0implies C2=3
Para x=pi:
f(pi)=-3 e^pi-4sinpi+C1pi+C2=-3 e^pi+0+C1pi+3=0
implies C1pi=3 e^pi-3implies C1=3(e^pi-1)pi

Passo 7

Substituindo C1 e C2 em f(x), a solução do problema de valor inicial é
f(x)=-3 e^x-4 sin x+3(e^pi-1)pi,x+3

Resposta

(a)
F(x)=23x^3/2-28 x^1/4+3 e^x+7 tan x+pi x+C
(b)
f(x)=-3 e^x-4 sin x+3(e^pi-1)pi,x+3

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