Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int(3 \operatorname{sen} z+\cos z-2 z) d z.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma antiderivada (primitiva) de
3\operatorname{sen} z + \cos z - 2z
ou seja, calcular
\int\bigl(3\operatorname{sen} z + \cos z - 2z\bigr)\,dz.
O conteúdo que vamos usar é:
  • linearidade da integral,
  • \displaystyle \int \sin z\,dz = -\cos z,
  • \displaystyle \int \cos z\,dz = \sin z,
  • regra de potência \int z^n\,dz = \tfrac{z^{n+1}}{n+1}.

Passo 2

Pela linearidade, separamos a integral em três partes:
\int\bigl(3\operatorname{sen} z + \cos z - 2z\bigr)\,dz = \int 3\operatorname{sen} z\,dz \;+\; \int \cos z\,dz \;-\; \int 2z\,dz.

Passo 3

Calculamos as duas primeiras integrais que envolvem funções trigonométricas:
\int 3\operatorname{sen} z\,dz = 3\int \sin z\,dz = 3\bigl(-\cos z\bigr) = -3\cos z,
\int \cos z\,dz = \sin z.

Passo 4

Agora usamos a regra de potência na terceira integral:
\int 2z\,dz = 2\int z\,dz = 2\cdot\frac{z^2}{2} = z^2,
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\int (-2z)\,dz = -\,z^2.

Passo 5

Somando tudo e incluindo a constante arbitrária C, obtemos a primitiva geral:
F(z) = -3\cos z + \sin z - z^2 + C.

Resposta

F(z) = -3\cos z + \sin z - z^2 + C.

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