(Transferência Fuvest 2012) Considere o polinômio p(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c, em que a, b, c são números reais. Qual a alternativa verdadeira?
a. se c>0 então p(x) terá pelo menos uma raiz positiva.
b. p(x) sempre terá pelo menos um ponto crítico.
c. p(x) sempre terá exatamente um ponto de inflexão.
d. se a^{2}<3 b então p(x) não será injetora.
e. se a^{2}<3 b então p(x) não será sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{3}+a\,x^{2}+b\,x+c
com a,b,c\in\mathbb{R} e pede a alternativa verdadeira entre injetividade, sobrejetividade, existência de raízes e pontos críticos/inflexão. Para resolver vamos usar cálculo (derivadas, discriminante) e análise de comportamento de funções polinomiais de grau 3.

Passo 2

Analisando a alternativa (a): “se c>0 então p(x) terá pelo menos uma raiz positiva.”
Temos p(0)=c>0 e \lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty, sem troca de sinal necessariamente para x>0. Exemplo contra:
p(x)=x^{3}+1,\quad c=1>0,
a única raiz real é x=-1 (negativa). Logo (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “ p(x) sempre terá pelo menos um ponto crítico.”
Pontos críticos vêm de p'(x)=0.
p'(x)=3x^{2}+2a\,x+b,\quad\Delta'=4\bigl(a^{2}-3b\bigr).
Se a^{2}<3b então \Delta'<0 e não há raízes reais de p', logo nenhum ponto crítico. Assim (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): “ p(x) sempre terá exatamente um ponto de inflexão.”
Ponto de inflexão vem de p''(x)=0.
p''(x)=6x+2a,\quad p''(x)=0\iff x=-\tfrac{a}{3}.
Há sempre exatamente uma solução real, portanto um único ponto de inflexão. Assim (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d) e (e) juntas: “se a^{2}<3b então p(x) não será injetora” e “não será sobrejetora.”
Para a^{2}<3b temos \Delta'<0, então p'(x)>0 \forall x, o que faz p estritamente crescente. Portanto ela é injetora e, como \lim_{x\to\pm\infty}p(x)=\pm\infty, também é sobrejetora em \mathbb{R}. Logo (d) e (e) são falsas.

Resposta

c

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