(Transferência Fuvest 2012) Considere o polinômio
, em que
são números reais. Qual a alternativa verdadeira?
a. se
então
terá pelo menos uma raiz positiva.
b.
sempre terá pelo menos um ponto crítico.
c.
sempre terá exatamente um ponto de inflexão.
d. se
então
não será injetora.
e. se
então
não será sobrejetora.
a. se
b.
c.
d. se
e. se
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
com
e pede a alternativa verdadeira entre injetividade, sobrejetividade, existência de raízes e pontos críticos/inflexão. Para resolver vamos usar cálculo (derivadas, discriminante) e análise de comportamento de funções polinomiais de grau 3.
Passo 2
Analisando a alternativa (a): “se
então
terá pelo menos uma raiz positiva.”
Temos e
, sem troca de sinal necessariamente para
. Exemplo contra:
Temos
a única raiz real é
(negativa). Logo (a) é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “
sempre terá pelo menos um ponto crítico.”
Pontos críticos vêm de .
Pontos críticos vêm de
Se
então
e não há raízes reais de
, logo nenhum ponto crítico. Assim (b) é falsa.
Passo 4
Analisando (c): “
sempre terá exatamente um ponto de inflexão.”
Ponto de inflexão vem de .
Ponto de inflexão vem de
Há sempre exatamente uma solução real, portanto um único ponto de inflexão. Assim (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d) e (e) juntas: “se
então
não será injetora” e “não será sobrejetora.”
Para temos
, então
, o que faz
estritamente crescente. Portanto ela é injetora e, como
, também é sobrejetora em
. Logo (d) e (e) são falsas.
Para
Resposta
c