Questão 3 (valor: 3.0). Usando o Teorema de Green. calcule.
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde ,
.
Esse caminho é o círculo unitário orientado positivamente. Vamos aplicar o Teorema de Green, que converte a integral de linha numa integral dupla sobre o disco interior ao círculo.
onde
Esse caminho é o círculo unitário orientado positivamente. Vamos aplicar o Teorema de Green, que converte a integral de linha numa integral dupla sobre o disco interior ao círculo.
Passo 2
Identificamos
Pelo Teorema de Green,
onde
é o disco
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando torna-se
Passo 4
Assim
Passo 5
Podemos usar simetria ou coordenadas polares. Em coordenadas polares,
,
,
, e
Logo o integral é
Como
, o resultado é zero.