Questão 3 (valor: 3.0). Usando o Teorema de Green. calcule.
\int_{\gamma^{2}}^{\left(x^{6}-2 y^{3}\right) d x-\left(2 x^{3}+y^{7}\right) d y}
onde \gamma(t)=(\cos (t), \sin (t)), \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \oint_{\gamma}(x^6 - 2y^3)\,dx \;-\;(2x^3 + y^7)\,dy
onde \gamma(t)=(\cos t,\sin t), 0\le t\le2\pi.
Esse caminho é o círculo unitário orientado positivamente. Vamos aplicar o Teorema de Green, que converte a integral de linha numa integral dupla sobre o disco interior ao círculo.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x^6-2y^3, \quad Q(x,y)=-(2x^3+y^7).
Pelo Teorema de Green,
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é o disco \{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x^3-y^7\bigr) =-6x^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^6-2y^3\bigr) =-6y^2.
Logo o integrando torna-se
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-6x^2-(-6y^2) =6(y^2-x^2).

Passo 4

Assim
\oint_{\gamma}(x^6-2y^3)\,dx-(2x^3+y^7)\,dy =\iint_{D}6\,(y^2-x^2)\,dA.

Passo 5

Podemos usar simetria ou coordenadas polares. Em coordenadas polares, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta, e
y^2-x^2=r^2(\sin^2\theta-\cos^2\theta)=-r^2\cos(2\theta).
Logo o integral é
6\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}(-r^2\cos2\theta)\,r\,dr\,d\theta =-6\int_{0}^{2\pi}\cos2\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^3\,dr.
Como \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos2\theta\,d\theta=0, o resultado é zero.

Resposta

0

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