Calcule a integral da função vetorial
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral (antiderivada) da função vetorial
Informações dadas:
- A função vetorial tem três componentes: primeira
, segunda e terceira .
O que se pede: - Encontrar
, ou seja, uma primitiva/antiderivada de . Não há limites, então é a integral indefinida; lembre-se de adicionar a constante de integração (aqui será um vetor constante).
Passo 2
Regra fundamental: a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Em palavras simples: integrar cada entrada do vetor separadamente e depois juntar num vetor. Formalmente,
onde
é um vetor de constantes de integração. Isso vale porque a integração é linear:
e
.
Passo 3
Integrando a primeira componente
. Usamos a regra do poder (power rule): para
com
,
Aqui
, portanto
(onde
será a primeira componente da constante vetorial.)
Passo 4
Integrando a segunda componente
. Primeiro fatoramos a constante
:
Aplicando a regra do poder com
:
logo
Passo 5
Integrando a terceira componente
. A função exponencial tem a propriedade simples de que sua derivada é ela própria; por isso a primitiva também é ela própria:
Passo 6
Juntando as três primitivas em um vetor e colocando a constante vetorial
, obtemos
Como verificação rápida (útil na prova): derivando componente a componente essa expressão recupera
.