Calcule a integral da função vetorial
\vec{r}(t)=\left\langle t, 2 t^{2}, e^{t}\right\rangle .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral (antiderivada) da função vetorial
\vec{r}(t)=\left\langle t,\;2t^{2},\;e^{t}\right\rangle.
Informações dadas:
  • A função vetorial tem três componentes: primeira t, segunda 2t^{2} e terceira e^{t}.
    O que se pede:
  • Encontrar \displaystyle \int \vec{r}(t)\,dt, ou seja, uma primitiva/antiderivada de \vec{r}(t). Não há limites, então é a integral indefinida; lembre-se de adicionar a constante de integração (aqui será um vetor constante).

Passo 2

Regra fundamental: a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Em palavras simples: integrar cada entrada do vetor separadamente e depois juntar num vetor. Formalmente,
\int \vec{r}(t)\,dt=\int \langle x(t),y(t),z(t)\rangle\,dt=\left\langle \int x(t)\,dt,\; \int y(t)\,dt,\; \int z(t)\,dt\right\rangle + \vec{C},
onde \vec{C}=\langle C_{1},C_{2},C_{3}\rangle é um vetor de constantes de integração. Isso vale porque a integração é linear: \int (f+g)=\int f+\int g e \int c\,f = c\int f.

Passo 3

Integrando a primeira componente x(t)=t. Usamos a regra do poder (power rule): para t^{n} com n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=1, portanto
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}+C_{1}.
(onde C_{1} será a primeira componente da constante vetorial.)

Passo 4

Integrando a segunda componente y(t)=2t^{2}. Primeiro fatoramos a constante 2:
\int 2t^{2}\,dt = 2\int t^{2}\,dt.
Aplicando a regra do poder com n=2:
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3},
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\int 2t^{2}\,dt = 2\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{2t^{3}}{3}+C_{2}.

Passo 5

Integrando a terceira componente z(t)=e^{t}. A função exponencial tem a propriedade simples de que sua derivada é ela própria; por isso a primitiva também é ela própria:
\int e^{t}\,dt = e^{t}+C_{3}.

Passo 6

Juntando as três primitivas em um vetor e colocando a constante vetorial \vec{C}=\langle C_{1},C_{2},C_{3}\rangle, obtemos
\int \vec{r}(t)\,dt = \left\langle \frac{t^{2}}{2},\; \frac{2t^{3}}{3},\; e^{t}\right\rangle + \langle C_{1},C_{2},C_{3}\rangle.
Como verificação rápida (útil na prova): derivando componente a componente essa expressão recupera \vec{r}(t).

Resposta

\int \vec{r}(t)\,dt=\left\langle \frac{t^{2}}{2},\;\frac{2t^{3}}{3},\;e^{t}\right\rangle + \langle C_{1},C_{2},C_{3}\rangle

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