Encontre aproximações para todas as soluções reais de
, dentro da precisão
indicada, utilizando o método da bisseção, nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede: aproximar todas as soluções reais da equação
usando o método da bisseção, com precisão
, onde
Informações dadas e o que é solicitado:
- Função:
. - Precisão desejada:
. - Método exigido: bisseção.
- Objetivo: encontrar aproximações (com erro absoluto ≤
) para todas as raízes reais de .
Passo 2
O que é o método da bisseção (explicação didática):
- Requisito inicial: escolher um intervalo
onde seja contínua e . Isso garante, pelo teorema do valor intermediário, a existência de pelo menos uma raiz em . - Passo iterativo: calcular o ponto médio
. Se paramos; se então a raiz está em (tomamos ); caso contrário a raiz está em (tomamos ). - Critério de parada para precisão
: se tomarmos como aproximação o ponto médio da última iteração, o erro absoluto está limitado por metade do comprimento do intervalo atual. Ou seja, se o intervalo final for então o erro do ponto médio satisfaz
onde
é a raiz real que estamos aproximando. Assim, podemos parar quando
.
- Observação prática: cada iteração corta o comprimento do intervalo pela metade. Se o intervalo inicial tem comprimento
, após iterações o comprimento é ; o semerro (meio do comprimento) é .
Passo 3
Encontrar intervalos iniciais
que contenham cada raiz, verificando mudanças de sinal em pontos inteiros (avaliações de
):
Calculemos em inteiros entre
e
:
Calculemos
Observações a partir das avaliações acima:
-
e ⇒ há uma raiz em . -
e ⇒ há uma raiz em . -
e ⇒ há uma raiz em .
Portanto, existem três raízes reais, uma em cada um dos intervalos, e .
Passo 4
Escolher critério de iterações: os três intervalos iniciais têm comprimento
. Queremos
. Como após
iterações o comprimento é
, o semerro é
. Basta tomar
tal que
. Isso dá
, portanto
e
. Logo, com
iterações em cada intervalo o semerro já fica
. Vamos executar 3 iterações por intervalo e, como aproximação final, tomaremos o ponto médio do intervalo obtido após essas 3 iterações.
Executaremos a bisseção separadamente em cada intervalo.
Passo 5
Bisseção no intervalo
:
1ª iteração:
Como
e
, novo intervalo é
.
2ª iteração:
Como
e
, novo intervalo é
.
3ª iteração:
Como
e
, o intervalo final após 3 iterações é
. O comprimento do intervalo é
e o semerro é
. Tomamos como aproximação o ponto médio desse intervalo:
Passo 6
Bisseção no intervalo
:
1ª iteração:
Como
e
, novo intervalo é
.
2ª iteração:
Como
e
, novo intervalo é
.
3ª iteração:
Como
e
, o intervalo final após 3 iterações é
. Comprimento
, semerro
. Aproximação:
Passo 7
Bisseção no intervalo
:
1ª iteração:
Como
e
, novo intervalo é
.
2ª iteração:
Como
e
, novo intervalo é
.
3ª iteração:
Como
e
, o intervalo final após 3 iterações é
. Comprimento
, semerro
. Aproximação:
Passo 8
Verificação do erro e conclusão:
- Para cada uma das três aproximações obtidas, o semerro é
, que é menor que a precisão exigida . Portanto as aproximações abaixo satisfazem o critério pedido.