Encontre aproximações para todas as soluções reais de f(x)=0, dentro da precisão \varepsilon indicada, utilizando o método da bisseção, nos seguintes casos:
f(x)=x^{3}-4 x+1, \quad \varepsilon=0.1

Passo 1

O enunciado pede: aproximar todas as soluções reais da equação \,f(x)=0 usando o método da bisseção, com precisão \varepsilon=0{,}1, onde
f(x)=x^{3}-4x+1.
Informações dadas e o que é solicitado:
  • Função: \,f(x)=x^{3}-4x+1.
  • Precisão desejada: \varepsilon=0{,}1.
  • Método exigido: bisseção.
  • Objetivo: encontrar aproximações (com erro absoluto ≤ \varepsilon) para todas as raízes reais de \,f(x)=0.

Passo 2

O que é o método da bisseção (explicação didática):
  • Requisito inicial: escolher um intervalo [a,b] onde f seja contínua e f(a)\cdot f(b)<0. Isso garante, pelo teorema do valor intermediário, a existência de pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Passo iterativo: calcular o ponto médio m=(a+b)/2. Se f(m)=0 paramos; se f(a)\cdot f(m)<0 então a raiz está em [a,m] (tomamos b:=m); caso contrário a raiz está em [m,b] (tomamos a:=m).
  • Critério de parada para precisão \varepsilon: se tomarmos como aproximação o ponto médio da última iteração, o erro absoluto está limitado por metade do comprimento do intervalo atual. Ou seja, se o intervalo final for [a_n,b_n] então o erro do ponto médio m_n satisfaz
|m_n - r| \le \frac{b_n-a_n}{2},
onde r é a raiz real que estamos aproximando. Assim, podemos parar quando (b_n-a_n)/2 \le \varepsilon.
  • Observação prática: cada iteração corta o comprimento do intervalo pela metade. Se o intervalo inicial tem comprimento L=b-a, após n iterações o comprimento é L/2^n; o semerro (meio do comprimento) é L/2^{n+1}.

Passo 3

Encontrar intervalos iniciais [a,b] que contenham cada raiz, verificando mudanças de sinal em pontos inteiros (avaliações de f):
Calculemos f em inteiros entre -3 e 2:
\begin{aligned} f(-3)&=(-3)^3 -4(-3)+1 = -27 +12 +1 = -14,\\\ f(-2)&=(-2)^3 -4(-2)+1 = -8 +8 +1 = 1,\\\ f(-1)&=(-1)^3 -4(-1)+1 = -1 +4 +1 = 4,\\\ f(0)&=0^3 -4\cdot0 +1 = 1,\\\ f(1)&=1^3 -4\cdot1 +1 = 1 -4 +1 = -2,\\\ f(2)&=2^3 -4\cdot2 +1 = 8 -8 +1 = 1. \end{aligned}
Observações a partir das avaliações acima:
  • f(-3)=-14<0 e f(-2)=1>0 ⇒ há uma raiz em [-3,-2].
  • f(0)=1>0 e f(1)=-2<0 ⇒ há uma raiz em [0,1].
  • f(1)=-2<0 e f(2)=1>0 ⇒ há uma raiz em [1,2].
    Portanto, existem três raízes reais, uma em cada um dos intervalos [-3,-2], [0,1] e [1,2].

Passo 4

Escolher critério de iterações: os três intervalos iniciais têm comprimento L=1. Queremos (b_n-a_n)/2 \le \varepsilon=0{,}1. Como após n iterações o comprimento é 1/2^n, o semerro é 1/2^{n+1}. Basta tomar n tal que 1/2^{n+1}\le 0{,}1. Isso dá 2^{n+1}\ge 10, portanto n+1\ge 4 e n\ge 3. Logo, com 3 iterações em cada intervalo o semerro já fica \le 0{,}0625<0{,}1. Vamos executar 3 iterações por intervalo e, como aproximação final, tomaremos o ponto médio do intervalo obtido após essas 3 iterações.
Executaremos a bisseção separadamente em cada intervalo.

Passo 5

Bisseção no intervalo [-3,-2]:
f(-3)=-14<0,\qquad f(-2)=1>0.
1ª iteração:
m_1=\frac{-3+(-2)}{2}=-2{,}5,\qquad f(-2{,}5)=(-2{,}5)^3-4(-2{,}5)+1=-15{,}625+10+1=-4{,}625<0.
Como f(m_1)<0 e f(-2)>0, novo intervalo é [-2{,}5,-2].
2ª iteração:
m_2=\frac{-2{,}5+(-2)}{2}=-2{,}25,\qquad f(-2{,}25)=(-2{,}25)^3-4(-2{,}25)+1=-11{,}390625+9+1=-1{,}390625<0.
Como f(m_2)<0 e f(-2)>0, novo intervalo é [-2{,}25,-2].
3ª iteração:
m_3=\frac{-2{,}25+(-2)}{2}=-2{,}125,\qquad f(-2{,}125)=(-2{,}125)^3-4(-2{,}125)+1\approx -0{,}095703125<0.
Como f(m_3)<0 e f(-2)>0, o intervalo final após 3 iterações é [-2{,}125,-2]. O comprimento do intervalo é 0{,}125 e o semerro é 0{,}0625\le 0{,}1. Tomamos como aproximação o ponto médio desse intervalo:
\text{aprox.}_1 = \frac{-2{,}125 + (-2)}{2} = -2{,}0625.

Passo 6

Bisseção no intervalo [0,1]:
f(0)=1>0,\qquad f(1)=-2<0.
1ª iteração:
m_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5,\qquad f(0{,}5)=(0{,}5)^3-4(0{,}5)+1=0{,}125-2+1=-0{,}875<0.
Como f(0)=1>0 e f(0{,}5)<0, novo intervalo é [0,0{,}5].
2ª iteração:
m_2=\frac{0+0{,}5}{2}=0{,}25,\qquad f(0{,}25)=(0{,}25)^3-4(0{,}25)+1=0{,}015625-1+1=0{,}015625>0.
Como f(0{,}25)>0 e f(0{,}5)<0, novo intervalo é [0{,}25,0{,}5].
3ª iteração:
m_3=\frac{0{,}25+0{,}5}{2}=0{,}375,\qquad f(0{,}375)=(0{,}375)^3-4(0{,}375)+1\approx 0{,}052734375-1{,}5+1=-0{,}447265625<0.
Como f(0{,}25)>0 e f(0{,}375)<0, o intervalo final após 3 iterações é [0{,}25,0{,}375]. Comprimento =0{,}125, semerro =0{,}0625\le0{,}1. Aproximação:
\text{aprox.}_2 = \frac{0{,}25+0{,}375}{2} = 0{,}3125.

Passo 7

Bisseção no intervalo [1,2]:
f(1)=-2<0,\qquad f(2)=1>0.
1ª iteração:
m_1=\frac{1+2}{2}=1{,}5,\qquad f(1{,}5)=(1{,}5)^3-4(1{,}5)+1=3{,}375-6+1=-1{,}625<0.
Como f(1{,}5)<0 e f(2)>0, novo intervalo é [1{,}5,2].
2ª iteração:
m_2=\frac{1{,}5+2}{2}=1{,}75,\qquad f(1{,}75)=(1{,}75)^3-4(1{,}75)+1=5{,}359375-7+1=-0{,}640625<0.
Como f(1{,}75)<0 e f(2)>0, novo intervalo é [1{,}75,2].
3ª iteração:
m_3=\frac{1{,}75+2}{2}=1{,}875,\qquad f(1{,}875)=(1{,}875)^3-4(1{,}875)+1\approx 6{,}591796875-7{,}5+1=0{,}091796875>0.
Como f(1{,}75)<0 e f(1{,}875)>0, o intervalo final após 3 iterações é [1{,}75,1{,}875]. Comprimento =0{,}125, semerro =0{,}0625\le0{,}1. Aproximação:
\text{aprox.}_3 = \frac{1{,}75+1{,}875}{2} = 1{,}8125.

Passo 8

Verificação do erro e conclusão:
  • Para cada uma das três aproximações obtidas, o semerro é 0{,}0625, que é menor que a precisão exigida \varepsilon=0{,}1. Portanto as aproximações abaixo satisfazem o critério pedido.

Resposta

-2{,}0625
0{,}3125
1{,}8125

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