Considere uma equação f(x)=0, cuja única solução \xi se encontra no intervalo intervalo I=[1.5 ; 1.75], com f(1.5)<0 e f(1.75)>0. Determine o número mínimo n de iterações necessárias no método da bisseção para obter uma solução aproximada \bar{x} com precisão \varepsilon=1.45 \times 10^{-5}.

Passo 1

O enunciado dá uma equação f(x)=0 cuja única solução \xi está no intervalo I=[1,5 ; 1,75]. Foi informado que f(1,5)<0 e f(1,75)>0. Pede-se o número mínimo n de iterações do método da bisseção para obter uma aproximação \bar{x} com precisão \varepsilon = 1,45\times10^{-5}.
Informações relevantes listadas:
  • intervalo inicial I=[1,5;1,75], logo a=1,5 e b=1,75;
  • sinal oposto em a e b, portanto existe uma única raiz \xi em I;
  • precisão desejada \varepsilon = 1,45\times10^{-5};
  • preciso determinar o menor inteiro n de iterações que garante a precisão.

Passo 2

Breve explicação didática do que precisamos usar (sem pular etapas): no método da bisseção, a cada iteração escolhemos o ponto médio do intervalo atual e reduzimos o intervalo pela metade, mantendo a raiz dentro do novo intervalo. Se L_0 é o comprimento do intervalo inicial e L_n o comprimento após n iterações, então
L_n = \frac{L_0}{2^{n}}.
Quando usamos o ponto médio como aproximação \bar{x} na iteração n, o erro absoluto é no máximo metade do comprimento do intervalo atual, ou seja
\left|\bar{x}-\xi\right| \le \frac{L_n}{2} = \frac{L_0}{2^{n+1}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • L_0: comprimento do intervalo inicial b-a;
  • n: número de iterações (inteiro, não-negativo);
  • \bar{x}: aproximação obtida como ponto médio na iteração n;
  • \xi: raiz exata desconhecida;
  • \varepsilon: precisão desejada, queremos \left|\bar{x}-\xi\right|\le\varepsilon.

Passo 3

Aplicamos a fórmula acima ao nosso caso. Primeiro calcule L_0:
L_0 = b-a = 1,75-1,5 = 0,25.
Queremos garantir
\frac{L_0}{2^{n+1}} \le \varepsilon.
Substituindo L_0 e \varepsilon,
\frac{0,25}{2^{n+1}} \le 1,45\times10^{-5}.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade para n. Reescrevendo,
2^{n+1} \ge \frac{0,25}{1,45\times10^{-5}}.
Calcule o quociente numérico:
\frac{0,25}{1,45\times10^{-5}}=\frac{25000}{1,45}=17241,379310\ldots
Portanto precisamos de
2^{n+1} \ge 17241,379310\ldots

Passo 5

Tomamos logaritmo em base 2 para isolar n:
n+1 \ge \log_2(17241,379310\ldots).
Calculando o logaritmo (usando mudança de base ou calculadora de logaritmos):
\log_2(17241,379310\ldots)\approx 14,073\ldots
Logo
n+1 \ge 14,073\ldots \quad\Rightarrow\quad n \ge 13,073\ldots
Como n deve ser um inteiro que satisfaça a desigualdade, tomamos o menor inteiro maior ou igual a 13,073\ldots, isto é n=14.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: com n=14 iterações a garantia teórica do método da bisseção é
\left|\bar{x}-\xi\right| \le \frac{0,25}{2^{15}} = \frac{0,25}{32768} \approx 7,6294\times10^{-6},
que é menor que \varepsilon=1,45\times10^{-5}. Com n=13 teríamos
\frac{0,25}{2^{14}} = \frac{0,25}{16384} \approx 1,5259\times10^{-5},
que é ligeiramente maior que \varepsilon, portanto insuficiente. Assim n=14 é de fato o mínimo.

Resposta

14

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