Considere uma equação
, cuja única solução
se encontra no intervalo intervalo
, com
e
. Determine o número mínimo
de iterações necessárias no método da bisseção para obter uma solução aproximada
com precisão
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação
cuja única solução
está no intervalo
. Foi informado que
e
. Pede-se o número mínimo
de iterações do método da bisseção para obter uma aproximação
com precisão
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- intervalo inicial
, logo e ; - sinal oposto em
e , portanto existe uma única raiz em ; - precisão desejada
; - preciso determinar o menor inteiro
de iterações que garante a precisão.
Passo 2
Breve explicação didática do que precisamos usar (sem pular etapas): no método da bisseção, a cada iteração escolhemos o ponto médio do intervalo atual e reduzimos o intervalo pela metade, mantendo a raiz dentro do novo intervalo. Se
é o comprimento do intervalo inicial e
o comprimento após
iterações, então
Quando usamos o ponto médio como aproximação
na iteração
, o erro absoluto é no máximo metade do comprimento do intervalo atual, ou seja
Aqui cada símbolo significa:
-
: comprimento do intervalo inicial ; -
: número de iterações (inteiro, não-negativo); -
: aproximação obtida como ponto médio na iteração ; -
: raiz exata desconhecida; -
: precisão desejada, queremos .
Passo 3
Aplicamos a fórmula acima ao nosso caso. Primeiro calcule
:
Queremos garantir
Substituindo
e
,
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade para
. Reescrevendo,
Calcule o quociente numérico:
Portanto precisamos de
Passo 5
Tomamos logaritmo em base 2 para isolar
:
Calculando o logaritmo (usando mudança de base ou calculadora de logaritmos):
Logo
Como
deve ser um inteiro que satisfaça a desigualdade, tomamos o menor inteiro maior ou igual a
, isto é
.
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: com
iterações a garantia teórica do método da bisseção é
que é menor que
. Com
teríamos
que é ligeiramente maior que
, portanto insuficiente. Assim
é de fato o mínimo.
Resposta
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