Sendo
, calcule a soma da série
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
Informações dadas:
e a série é a soma dos termos com índice
onde cada termo é
.
O que se quer: obter uma expressão fechada (fórmula) para essa soma, válida para os em que a série converge.
O que se quer: obter uma expressão fechada (fórmula) para essa soma, válida para os
Passo 2
Vamos simplificar a escrita fazendo a substituição
Aqui
é apenas um nome curto para
. Assim a série fica
Essa manipulação é só notacional — não altera nada, só facilita ver a estrutura da soma.
Passo 3
Agora observe que podemos separar um fator
do termo geral:
Logo a soma torna-se
Uma troca de índice deixa a soma com início em
: colocando
(assim
) obtemos
Passo 4
A série
é uma progressão geométrica infinita, cuja soma é
desde que
. Nesse nosso caso o termo de razão
é
Portanto, se
, podemos usar a fórmula da soma geométrica para obter
Passo 5
Simplificando a expressão obtemos
Colocando num denominador comum:
Substituindo
temos a soma em função de
:
Passo 6
Precisamos verificar a condição de convergência usada:
com
. Como sempre vale
, temos
Logo a condição
é satisfeita para todo
, isto é, a série converge para todo
real. Note também que o denominador
nunca é zero, pois
implica
.
Passo 7
Para ganhar confiança: um exemplo rápido. Se
então
. A fórmula dá
Calculando alguns termos da série original com
:
dá
,
dá
,
dá
, soma parcial
, que está perto de
— bom sinal.