Sendo x \in \mathbb{R}, calcule a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \operatorname{sen}^{k} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}\operatorname{sen}^{k} x.
Informações dadas:
x\in\mathbb{R},
e a série é a soma dos termos com índice k=1,2,3,\dots onde cada termo é \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{k-1}\operatorname{sen}^{k} x.
O que se quer: obter uma expressão fechada (fórmula) para essa soma, válida para os x em que a série converge.

Passo 2

Vamos simplificar a escrita fazendo a substituição
s=\operatorname{sen} x.
Aqui s é apenas um nome curto para \operatorname{sen} x. Assim a série fica
\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}s^{k}.
Essa manipulação é só notacional — não altera nada, só facilita ver a estrutura da soma.

Passo 3

Agora observe que podemos separar um fator s do termo geral:
\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}s^{k}=s\cdot\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}s^{\,k-1}\right].
Logo a soma torna-se
\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}s^{k} = s\sum_{k=1}^{\infty}\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}s^{\,k-1}\right].
Uma troca de índice deixa a soma com início em 0: colocando n=k-1 (assim n=0,1,2,\dots) obtemos
s\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}s^{\,n} = s\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{s}{2}\right)^{n}.

Passo 4

A série \sum_{n=0}^{\infty}r^{n} é uma progressão geométrica infinita, cuja soma é
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r},
desde que |r|<1. Nesse nosso caso o termo de razão r é
r=-\frac{s}{2}=-\frac{\operatorname{sen} x}{2}.
Portanto, se |r|<1, podemos usar a fórmula da soma geométrica para obter
s\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{s}{2}\right)^{n}=s\cdot\frac{1}{1-\left(-\dfrac{s}{2}\right)}.

Passo 5

Simplificando a expressão obtemos
s\cdot\frac{1}{1+\dfrac{s}{2}} = \frac{s}{1+\dfrac{s}{2}}.
Colocando num denominador comum:
\frac{s}{1+\dfrac{s}{2}}=\frac{s}{\dfrac{2+s}{2}}=\frac{2s}{2+s}.
Substituindo s=\operatorname{sen} x temos a soma em função de x:
\frac{2\operatorname{sen} x}{2+\operatorname{sen} x}.

Passo 6

Precisamos verificar a condição de convergência usada: |r|<1 com r=-\dfrac{\operatorname{sen} x}{2}. Como sempre vale |\operatorname{sen} x|\le 1, temos
|r|=\frac{|\operatorname{sen} x|}{2}\le\frac{1}{2}<1.
Logo a condição |r|<1 é satisfeita para todo x\in\mathbb{R}, isto é, a série converge para todo x real. Note também que o denominador 2+\operatorname{sen} x nunca é zero, pois \operatorname{sen} x\ge -1 implica 2+\operatorname{sen} x\ge 1>0.

Passo 7

Para ganhar confiança: um exemplo rápido. Se x=\tfrac{\pi}{6} então \operatorname{sen} x=\tfrac{1}{2}. A fórmula dá
\frac{2\cdot \tfrac{1}{2}}{2+\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{2{,}5}=0{,}4.
Calculando alguns termos da série original com \operatorname{sen} x=\tfrac{1}{2}:
k=1 0{,}5, k=2 -0{,}125, k=3 0{,}03125, soma parcial 0{,}40625, que está perto de 0{,}4 — bom sinal.

Resposta

\frac{2\operatorname{sen} x}{2+\operatorname{sen} x}

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