Encontre aproximações para todas as soluções reais de
, dentro da precisão
indicada, utilizando o método da bisseção, nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar aproximações para todas as soluções reais de
usando o método da bisseção, onde
e a precisão desejada é
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A função está dada por
. - O domínio natural de
é (pois só está definido para ). - A precisão que queremos para as aproximações (erro máximo tolerado) é
. - A tarefa: localizar todas as raízes reais (valores de
tais que ) e aproximá‑las com o método da bisseção, até a precisão indicada.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se existem raízes reais em
. Para isso analisamos o comportamento de
.
- Continuidade e derivadas:
é contínua e diferenciável em todo
. As derivadas são
- Pontos críticos e natureza:
- Resolver
dá
- Como
para todo , esse ponto crítico é um máximo local (na verdade, por concavidade, é o máximo global em ).
- Valor máximo:
avaliamosem :
Agora calculamos numericamente (usar aproximações decimais é aceitável para análise):
logo
- Conclusão da análise:
- O máximo de
em é aproximadamente , ou seja, é negativo. - Como o maior valor que
atinge no domínio é negativo, temos para todo . - Portanto não existe
tal que . Em outras palavras: a equação não possui raízes reais.
Observações extra (consistência):
e
. Com um máximo negativo no meio, a função nunca corta o eixo
.
Passo 3
Breve explicação didática do método da bisseção (para você saber como aplicá‑lo, caso houvesse raízes):
- Quando a função
é contínua em um intervalo e e têm sinais opostos (ou seja, ), por Bolzano existe pelo menos uma raiz em . O método da bisseção explora esse fato subdividindo sucessivamente o intervalo para localizar a raiz. - Passos do algoritmo da bisseção:
- Tomar um intervalo inicial
com . - Calcular o ponto médio
. - Se
(exatamente), então é a raiz. Senão, escolher o subintervalo ou onde há mudança de sinal (isto é, onde o produto das extremidades é negativo), e repetir.
- Tomar um intervalo inicial
- Critério de parada relacionado à precisão
: - Após
iterações o comprimento do intervalo é . - O erro máximo ao tomar o ponto médio
como aproximação da raiz é no máximo metade desse comprimento, isto é
- Para garantir erro
, escolha tal que
- Após
- Importante: método da bisseção só é aplicável se existir um intervalo com
. Sem mudança de sinal conhecida em um intervalo, a bisseção não pode ser iniciada.
Passo 4
Aplicando o que fizemos: antes de usar bisseção sempre checamos se existe intervalo com mudança de sinal. No nosso caso concluímos em
Passo 5
- Não há nenhum intervalo inicial válido para aplicar o método da bisseção.
- Consequentemente, não existem raízes reais a serem aproximadas por bisseção neste problema.
Se você estivesse numa prova e o enunciado pedisse bisseção, o correto é primeiro mostrar que não existem raízes (como fizemos), e então justificar que o método não pode ser empregado por falta de mudança de sinal. Isso resolve a questão definitivamente.
Resposta
Não existem soluções reais.