Encontre aproximações para todas as soluções reais de f(x)=0, dentro da precisão \varepsilon indicada, utilizando o método da bisseção, nos seguintes casos:
f(x)=\ln x-1.5 x, \quad \varepsilon=0.08

Passo 1

O enunciado pede: encontrar aproximações para todas as soluções reais de f(x)=0 usando o método da bisseção, onde
f(x)=\ln x - 1{,}5x
e a precisão desejada é \varepsilon=0{,}08.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função está dada por f(x)=\ln x - 1{,}5x.
  • O domínio natural de f é x>0 (pois \ln x só está definido para x>0).
  • A precisão que queremos para as aproximações (erro máximo tolerado) é \varepsilon=0{,}08.
  • A tarefa: localizar todas as raízes reais (valores de x\in(0,\infty) tais que f(x)=0) e aproximá‑las com o método da bisseção, até a precisão indicada.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se existem raízes reais em (0,\infty). Para isso analisamos o comportamento de f.
  1. Continuidade e derivadas:
f(x)=\ln x - 1{,}5x
é contínua e diferenciável em todo x>0. As derivadas são
f'(x)=\frac{1}{x}-1{,}5, \qquad f''(x)=-\frac{1}{x^{2}}.
  1. Pontos críticos e natureza:
  • Resolver f'(x)=0
\frac{1}{x}-1{,}5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{1{,}5}=\frac{2}{3}\approx 0{,}6667.
  • Como f''(x)=-1/x^{2}<0 para todo x>0, esse ponto crítico é um máximo local (na verdade, por concavidade, é o máximo global em (0,\infty)).
  1. Valor máximo:
    avaliamos f em x=\tfrac{2}{3}:
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right)-1{,}5\cdot\tfrac{2}{3}.
Agora calculamos numericamente (usar aproximações decimais é aceitável para análise):
\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx -0{,}405465\quad\text{e}\quad 1{,}5\cdot\tfrac{2}{3}=1{,}0,
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f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx -0{,}405465-1{,}0=-1{,}405465.
  1. Conclusão da análise:
  • O máximo de f em (0,\infty) é aproximadamente -1{,}4055, ou seja, é negativo.
  • Como o maior valor que f atinge no domínio é negativo, temos f(x)<0 para todo x>0.
  • Portanto não existe x>0 tal que f(x)=0. Em outras palavras: a equação \ln x - 1{,}5x=0 não possui raízes reais.
Observações extra (consistência): \lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty e \lim_{x\to+\infty}(\ln x-1{,}5x)=-\infty. Com um máximo negativo no meio, a função nunca corta o eixo x.

Passo 3

Breve explicação didática do método da bisseção (para você saber como aplicá‑lo, caso houvesse raízes):
  • Quando a função f é contínua em um intervalo [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), por Bolzano existe pelo menos uma raiz em (a,b). O método da bisseção explora esse fato subdividindo sucessivamente o intervalo para localizar a raiz.
  • Passos do algoritmo da bisseção:
    1. Tomar um intervalo inicial [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0.
    2. Calcular o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}.
    3. Se f(m)=0 (exatamente), então m é a raiz. Senão, escolher o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde há mudança de sinal (isto é, onde o produto das extremidades é negativo), e repetir.
  • Critério de parada relacionado à precisão \varepsilon:
    • Após n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b-a}{2^{n}}.
    • O erro máximo ao tomar o ponto médio m como aproximação da raiz é no máximo metade desse comprimento, isto é
    \text{erro}\le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
    • Para garantir erro \le \varepsilon, escolha n tal que
    \frac{b-a}{2^{n+1}}\le \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad n\ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1.
  • Importante: método da bisseção só é aplicável se existir um intervalo com f(a)\cdot f(b)<0. Sem mudança de sinal conhecida em um intervalo, a bisseção não pode ser iniciada.

Passo 4

Aplicando o que fizemos: antes de usar bisseção sempre checamos se existe intervalo com mudança de sinal. No nosso caso concluímos em

Passo 5

  • Não há nenhum intervalo inicial válido para aplicar o método da bisseção.
  • Consequentemente, não existem raízes reais a serem aproximadas por bisseção neste problema.
Se você estivesse numa prova e o enunciado pedisse bisseção, o correto é primeiro mostrar que não existem raízes (como fizemos), e então justificar que o método não pode ser empregado por falta de mudança de sinal. Isso resolve a questão definitivamente.

Resposta

Não existem soluções reais.

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