Encontre a área entre as curvas f(x)=x^2 e g(x)=6 x-5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área entre as curvas $ f(x) = x^{2} $ e $ g(x) = 6x - 5 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, e precisaremos encontrar onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, em que valores de $ x $ elas têm o mesmo valor. Para isso, igualamos as duas funções:
x
Vamos rearranjar essa equação para resolver:
x^2 = 6x - 5

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} - 6x + 5 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 6x + 5 = 0
Isso nos dá duas soluções:
x = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 6 pm raiz36 - 202 = 6 pm raiz162 = 6 pm 42
Então, as curvas se interceptam nos pontos $ x = 1 $ e $ x = 5 $.

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, precisamos saber qual delas está acima da outra no intervalo de $ x = 1 $ a $ x = 5 $. Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, $ x = 3 $:
x = 1
Como $ g(3) > f(3) $, a função $ g(x) $ está acima de $ f(x) $ nesse intervalo.

Passo 5

Agora, para calcular a área entre as curvas, usamos a integral da diferença entre as funções $ g(x) $ e $ f(x) $ de $ x = 1 $ a $ x = 5 $:
g(x) Á
Vamos integrar termo a termo:
f(x)
Agora, avaliamos essa expressão de $ x = 1 $ a $ x = 5 $:
x = 1
Simplificando:
x = 5

Resposta

A área entre as curvas $ f(x) = x^{2} $ e $ g(x) = 6x - 5 $ é $ \frac{32}{3} $ unidades de área.

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