Encontre a área entre as curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área entre as curvas $ f(x) = x^{2} $ e $ g(x) = 6x - 5 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, e precisaremos encontrar onde essas duas curvas se interceptam.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, em que valores de $ x $ elas têm o mesmo valor. Para isso, igualamos as duas funções:
Vamos rearranjar essa equação para resolver:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} - 6x + 5 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se interceptam nos pontos $ x = 1 $ e $ x = 5 $.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, precisamos saber qual delas está acima da outra no intervalo de $ x = 1 $ a $ x = 5 $. Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, $ x = 3 $:
Como $ g(3) > f(3) $, a função $ g(x) $ está acima de $ f(x) $ nesse intervalo.
Passo 5
Agora, para calcular a área entre as curvas, usamos a integral da diferença entre as funções $ g(x) $ e $ f(x) $ de $ x = 1 $ a $ x = 5 $:
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos essa expressão de $ x = 1 $ a $ x = 5 $:
Simplificando:
Resposta
A área entre as curvas $ f(x) = x^{2} $ e $ g(x) = 6x - 5 $ é $ \frac{32}{3} $ unidades de área.