As seguintes sequências têm um padrão natural de continuação. Usando tal padrão determine uma fórmula para o termo geral da sequência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que é assim:
O objetivo é descobrir uma fórmula que nos permita encontrar qualquer termo dessa sequência sem precisar listar todos. Para isso, vamos analisar o padrão da sequência, olha os numeradores, denominadores e os sinais. Precisaremos de conhecimentos sobre sequências numéricas e padrões de sinais alternados.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar os numeradores:
Vemos que eles estão aumentando de 1 em 1 em valor absoluto, mas alternando entre negativo e positivo. Isso sugere que podemos representar os numeradores usando uma potência de
para alternar os sinais e multiplicar pelo termo da posição na sequência.
Então, para o numerador do
-ésimo termo, usamos:
Passo 3
Agora, vamos analisar os denominadores:
Observamos que eles aumentam de 3 em 3. Isso é uma progressão aritmética onde o primeiro termo é 2 e a razão é 3.
A fórmula geral para o denominador do
-ésimo termo é:
Isso porque:
- Para
: - Para
: - E assim por diante.
Passo 4
Agora, juntando numerador e denominador, temos a fórmula para o termo geral da sequência. Lembrando que a posição
começa em 1.
Então, a fórmula fica:
Resposta
A fórmula geral para o
-ésimo termo da sequência é: