As seguintes sequências têm um padrão natural de continuação. Usando tal padrão determine uma fórmula para o termo geral da sequência.
-12, 25,-38, 411,-514, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que é assim: -12, 25,-38, 411,-514, ldots O objetivo é descobrir uma fórmula que nos permita encontrar qualquer termo dessa sequência sem precisar listar todos. Para isso, vamos analisar o padrão da sequência, olha os numeradores, denominadores e os sinais. Precisaremos de conhecimentos sobre sequências numéricas e padrões de sinais alternados.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar os numeradores: -1, 2, -3, 4, -5, ldots Vemos que eles estão aumentando de 1 em 1 em valor absoluto, mas alternando entre negativo e positivo. Isso sugere que podemos representar os numeradores usando uma potência de -1 para alternar os sinais e multiplicar pelo termo da posição na sequência.
Então, para o numerador do n-ésimo termo, usamos: (-1)^n cdot n

Passo 3

Agora, vamos analisar os denominadores: 2, 5, 8, 11, 14, ldots Observamos que eles aumentam de 3 em 3. Isso é uma progressão aritmética onde o primeiro termo é 2 e a razão é 3.
A fórmula geral para o denominador do n-ésimo termo é: 3n - 1
Isso porque:
  • Para n=1: 3(1) - 1 = 2
  • Para n=2: 3(2) - 1 = 5
  • E assim por diante.

Passo 4

Agora, juntando numerador e denominador, temos a fórmula para o termo geral da sequência. Lembrando que a posição n começa em 1.
Então, a fórmula fica:
an = (-1)^n cdot n3n - 1

Resposta

A fórmula geral para o n-ésimo termo da sequência é:
an = (-1)^n cdot n3n - 1

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