Encontre o Wronskiano do par de funções
l y1(t)=e^-t sen t y2(t)=e^-t cos t
Escolha uma opção:
sen t+cos t

Passo 1

Temos as funções y1(t)=e^-tsin t, y2(t)=e^-tcos tO conteúdo é o Wronskiano de duas funções, que exige calcular derivadas e montar um determinante para ver se as soluções são linearmente independentes.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas. Derivando por partes ou usando regra do produto, obtemos:
y1'(t)=ddtl(e^-tsin tr)=-e^-tsin t+e^-tcos t=e^-t(cos t-sin t),
y2'(t)=ddtl(e^-tcos tr)=-e^-tcos t- e^-tsin t=-e^-t(cos t+sin t)

Passo 3

Agora montamos o Wronskiano definido por W(t)=y1 & y2y1' & y2'=y1y2'-y2y1'Substituindo,
W(t)=e^-tsin tl[-e^-t(cos t+sin t)r]-e^-tcos tl[e^-t(cos t-sin t)r]

Passo 4

Fatorando e^-2t e simplificando usando sin^2t+cos^2t=1, vem
W(t)=-e^-2tl(sin tcos t+sin^2t+cos^2t-sin tcos tr)=-e^-2t

Resposta

-e^{-2t}

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