Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para resolver as integrais.
\iiint_{E} x^{2}+y^{2} d V, E é a região limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=-1 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{E} x^{2}+y^{2}\,dV,
onde E é a região limitada pelo cilindro \;x^{2}+y^{2}=4\; e pelos planos \;z=-1\; e \;z=2\;.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Região lateral: } x^{2}+y^{2}=4 \quad(\text{um cilindro de raio }2).\\\ &\text{Planos superior e inferior: } z=-1 \text{ e } z=2.\\\ &\text{Integrando a função: } x^{2}+y^{2}. \end{aligned}ãçã

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas: o enunciado permite coordenadas cilíndricas ou esféricas. Vou usar coordenadas cilíndricas porque a região E é um cilindro de raio constante em torno do eixo z — isso casa perfeitamente com a simetria radial das coordenadas cilíndricas e simplifica muito a integral. Em problemas com simetria circular em x,y, coordenadas cilíndricas costumam ser a opção natural.

Passo 3

Definição e interpretação das coordenadas cilíndricas (aulas rápidas):
\begin{aligned} &x = r\cos\theta,\\\ &y = r\sin\theta,\\\ &z = z, \end{aligned}
onde \;r\ge 0\; mede a distância radial ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy (normalmente \;0\le\theta<2\pi\;) e z é a coordenada vertical usual.
Elemento de volume em coordenadas cilíndricas: ao trocar (x,y) por (r,\theta) o elemento de área no plano é dA=r\,dr\,d\theta. Portanto o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Breve intuição do fator r: um pequeno anel radial de espessura dr tem comprimento de arco proporcional a r\,d\theta, daí surge o r.

Passo 4

Converter a integranda e as cotas da região para cilíndricas:
x^{2}+y^{2}=r^{2},
logo a integranda \;x^{2}+y^{2}\; vira \;r^{2}\;. Multiplicando pelo elemento de volume temos integrando efetivo
r^{2}\cdot r = r^{3}.
Limites da região E em cilíndricas:
\begin{aligned} &\theta: 0\to 2\pi \quad(\text{todo o círculo}),\\\ &r: 0\to 2 \quad(\text{pois }x^{2}+y^{2}=4\Rightarrow r=2),\\\ &z: -1\to 2 \quad(\text{entre os planos dados}). \end{aligned}í

Passo 5

Montando a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
\iiint_{E} x^{2}+y^{2}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=-1}^{2} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 6

Integrar primeiro em z (é direto porque o integrando r^{3} não depende de z):
\int_{z=-1}^{2} r^{3}\,dz = r^{3}\cdot\bigl(z\bigr)\Big|_{z=-1}^{2} = r^{3}\cdot(2-(-1)) = 3r^{3}.

Passo 7

Agora integrar em r:
\int_{r=0}^{2} 3r^{3}\,dr = 3\cdot\left(\frac{r^{4}}{4}\right)\Big|_{0}^{2} = 3\cdot\frac{2^{4}}{4} = 3\cdot\frac{16}{4} = 3\cdot4 = 12.

Passo 8

Finalmente integrar em \theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi} 12\,d\theta = 12\cdot\bigl(\theta\bigr)\Big|_{0}^{2\pi} = 12\cdot 2\pi = 24\pi.

Resposta

24\pi

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