Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para resolver as integrais. \iiint_{E} x^{2}+y^{2} d V, E é a região limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=-1 e z=2.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{E} x^{2}+y^{2}\,dV,
onde E é a região limitada pelo cilindro \;x^{2}+y^{2}=4\; e pelos planos \;z=-1\; e \;z=2\;.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Região lateral: } x^{2}+y^{2}=4 \quad(\text{um cilindro de raio }2).\\\ &\text{Planos superior e inferior: } z=-1 \text{ e } z=2.\\\ &\text{Integrando a função: } x^{2}+y^{2}. \end{aligned}
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas: o enunciado permite coordenadas cilíndricas ou esféricas. Vou usar coordenadas cilíndricas porque a região E é um cilindro de raio constante em torno do eixo z — isso casa perfeitamente com a simetria radial das coordenadas cilíndricas e simplifica muito a integral. Em problemas com simetria circular em x,y, coordenadas cilíndricas costumam ser a opção natural.
Passo 3
Definição e interpretação das coordenadas cilíndricas (aulas rápidas):
onde \;r\ge 0\; mede a distância radial ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy (normalmente \;0\le\theta<2\pi\;) e z é a coordenada vertical usual.
Elemento de volume em coordenadas cilíndricas: ao trocar (x,y) por (r,\theta) o elemento de área no plano é dA=r\,dr\,d\theta. Portanto o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Breve intuição do fator r: um pequeno anel radial de espessura dr tem comprimento de arco proporcional a r\,d\theta, daí surge o r.
Passo 4
Converter a integranda e as cotas da região para cilíndricas:
x^{2}+y^{2}=r^{2},
logo a integranda \;x^{2}+y^{2}\; vira \;r^{2}\;. Multiplicando pelo elemento de volume temos integrando efetivo