1. Encontre a área que está dentro da curva r=2 \cos (2 \theta) e fora da curva r=1.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares e pede a área do conjunto que está dentro de uma e fora da outra. Informações relevantes:
  • Curvas dadas: r=2\cos(2\theta) e r=1.
  • Região pedida: pontos que satisfazem "dentro de r=2\cos(2\theta)" e "fora de r=1". Ou seja, pontos cujo raio r está entre 1 e 2\cos(2\theta), nas direções \theta onde 2\cos(2\theta)\ge 1.
  • Objetivo: calcular a área dessa região.

Passo 2

Encontrar para quais \theta as curvas se intersectam e em quais intervalos r=2\cos(2\theta) é maior que 1.
As interseções ocorrem quando
2\cos(2\theta)=1.
Dividindo por 2:
\cos(2\theta)=\tfrac{1}{2}.
A equação \cos x=\tfrac{1}{2} tem soluções x=\pm \tfrac{\pi}{3}+2k\pi. Aplicando x=2\theta:
2\theta = \pm \tfrac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta = \pm \tfrac{\pi}{6} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Restrigindo \theta ao intervalo [0,2\pi), obtemos as interseções em
\theta = \tfrac{\pi}{6},\quad \theta = \tfrac{5\pi}{6},\quad \theta = \tfrac{7\pi}{6},\quad \theta = \tfrac{11\pi}{6}.
Agora identificar os intervalos onde 2\cos(2\theta)\ge 1. Como \cos(2\theta) é periodicamente positivo em torno de \theta=0 e \theta=\pi, os intervalos onde \cos(2\theta)\ge \tfrac{1}{2} são
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\right]\quad\text{(lobo centrado em 0)}
e
\theta\in\left[\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{7\pi}{6}\right]\quad\text{(lobo centrado em }\pi\text{)}.
Observação sobre polar: o raio r deve ser não-negativo. Em cada um desses intervalos 2\cos(2\theta)\ge1>0, logo faz sentido ter r entre 1 e 2\cos(2\theta). Fora desses intervalos não há pontos da região pedida porque 2\cos(2\theta)<1 (logo não existe faixa entre 1 e 2\cos(2\theta)).

Passo 3

Explicar a fórmula de área em coordenadas polares e como usá-la para “área entre curvas”.
Fórmula básica: a área de uma região em coordenadas polares, determinada por r variando de 0 a r(\theta) para \theta em [a,b], é
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} \bigl(r(\theta)\bigr)^2\,d\theta.Á
Por que? Um setor de ângulo infinitesimal d\theta e raio r tem área aproximada \tfrac{1}{2}r^2 d\theta.
Para a área entre duas curvas polares r=r_{\text{outer}}(\theta) e r=r_{\text{inner}}(\theta), com r_{\text{outer}}\ge r_{\text{inner}} no intervalo [a,b], subtrai-se as áreas:
\text{Área entre curvas}=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\bigl(r_{\text{outer}}(\theta)^2 - r_{\text{inner}}(\theta)^2\bigr)\,d\theta.Á
Aqui r_{\text{outer}}(\theta)=2\cos(2\theta) e r_{\text{inner}}(\theta)=1, e os intervalos válidos são os dois lobos identificados no Passo 2.

Passo 4

Montar a integral para a área pedida.
A região pedida é a união das duas bandas (uma em cada lobo). Para um lobo, com \theta entre -\tfrac{\pi}{6} e \tfrac{\pi}{6}, a área é
A_{\text{lobo}}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\bigl((2\cos(2\theta))^2 - 1^2\bigr)\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\bigl(4\cos^2(2\theta)-1\bigr)\,d\theta.
Como há dois lobos idênticos (simetria em \theta\mapsto\theta+\pi), a área total é o dobro:
A_{\text{total}}=2A_{\text{lobo}} =2\cdot\frac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\bigl(4\cos^2(2\theta)-1\bigr)\,d\theta =\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\bigl(4\cos^2(2\theta)-1\bigr)\,d\theta.
Podemos aproveitar a paridade da função (é par em \theta) e escrever
A_{\text{total}}=2\int_{0}^{\pi/6}\bigl(4\cos^2(2\theta)-1\bigr)\,d\theta,
mas vou calcular diretamente na forma com limites simétricos.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
Usamos a identidade de redução
\cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Aplicando com x=2\theta:
\cos^2(2\theta)=\frac{1+\cos(4\theta)}{2}.
Então o integrando fica
4\cos^2(2\theta)-1 = 4\cdot\frac{1+\cos(4\theta)}{2}-1 = 2\bigl(1+\cos(4\theta)\bigr)-1 = 1 + 2\cos(4\theta).
Portanto
A_{\text{total}}=\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \bigl(1+2\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta.
Integramos termo a termo:
\int_{-\pi/6}^{\pi/6} 1\,d\theta = \left[\theta\right]_{-\pi/6}^{\pi/6} = \frac{\pi}{3}.
E
\int_{-\pi/6}^{\pi/6} 2\cos(4\theta)\,d\theta = 2\left[\frac{1}{4}\sin(4\theta)\right]_{-\pi/6}^{\pi/6} =\frac{1}{2}\bigl(\sin(4\cdot\tfrac{\pi}{6})-\sin(4\cdot(-\tfrac{\pi}{6}))\bigr).
Calcule os argumentos dos senos: 4\cdot\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{2\pi}{3} e 4\cdot(-\tfrac{\pi}{6})=-\tfrac{2\pi}{3}. Sabendo que \sin(\tfrac{2\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(-\tfrac{2\pi}{3})=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
\frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Somando as duas partes:
A_{\text{total}}=\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência: valor é positivo e tem contribuições de uma parte angular ( \pi/3) e de uma parte trigonométrica ( \sqrt{3}/2). A expressão está em forma exata e simples, adequada para ser apresentada como resposta final.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}

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