- Encontre a área que está dentro da curva
e fora da curva
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares e pede a área do conjunto que está dentro de uma e fora da outra. Informações relevantes:
- Curvas dadas:
e . - Região pedida: pontos que satisfazem "dentro de
" e "fora de ". Ou seja, pontos cujo raio está entre e , nas direções onde . - Objetivo: calcular a área dessa região.
Passo 2
Encontrar para quais
as curvas se intersectam e em quais intervalos
é maior que
.
As interseções ocorrem quando
Dividindo por
:
A equação
tem soluções
. Aplicando
:
Restrigindo
ao intervalo
, obtemos as interseções em
Agora identificar os intervalos onde
. Como
é periodicamente positivo em torno de
e
, os intervalos onde
são
e
Observação sobre polar: o raio
deve ser não-negativo. Em cada um desses intervalos
, logo faz sentido ter
entre
e
. Fora desses intervalos não há pontos da região pedida porque
(logo não existe faixa entre
e
).
Passo 3
Explicar a fórmula de área em coordenadas polares e como usá-la para “área entre curvas”.
Fórmula básica: a área de uma região em coordenadas polares, determinada por
variando de
a
para
em
, é
Por que? Um setor de ângulo infinitesimal
e raio
tem área aproximada
.
Para a área entre duas curvas polares
e
, com
no intervalo
, subtrai-se as áreas:
Aqui
e
, e os intervalos válidos são os dois lobos identificados no Passo 2.
Passo 4
Montar a integral para a área pedida.
A região pedida é a união das duas bandas (uma em cada lobo). Para um lobo, com
entre
e
, a área é
Como há dois lobos idênticos (simetria em
), a área total é o dobro:
Podemos aproveitar a paridade da função (é par em
) e escrever
mas vou calcular diretamente na forma com limites simétricos.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
Usamos a identidade de redução
Aplicando com
:
Então o integrando fica
Portanto
Integramos termo a termo:
E
Calcule os argumentos dos senos:
e
. Sabendo que
e
, temos
Somando as duas partes:
Passo 6
Verificação rápida de consistência: valor é positivo e tem contribuições de uma parte angular (
) e de uma parte trigonométrica (
). A expressão está em forma exata e simples, adequada para ser apresentada como resposta final.