Esboce o gráfico das curvas polares abaixo:
r=3+3 \operatorname{sen}(\theta)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da curva polar r=3+3\sin(\theta).
Informações dadas e o que precisamos anotar:
  • A equação polar é r=3+3\sin(\theta).
  • O parâmetro angular \theta varia tipicamente em [0,2\pi] para desenhar a curva completa.
  • Precisamos identificar pontos notáveis (máximos, mínimos, interceptos), simetrias, comportamento perto de pontos especiais (por exemplo onde r=0) e, a partir disso, traçar o esboço.

Passo 2

Breve lembrete do que são coordenadas polares (para você não se perder):
  • Em coordenadas polares um ponto é dado por (r,\theta) onde r é a distância ao polo (origem) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x.
  • Para converter para coordenadas cartesianas usamos as fórmulas
x = r\cos(\theta),\qquad y = r\sin(\theta).
Aqui r depende de \theta pela lei r=3+3\sin(\theta). Essas fórmulas servem se quisermos calcular coordenadas (x,y) de pontos específicos para desenhar.

Passo 3

Verificação de simetria — é útil para economizar trabalho ao desenhar:
Calcule r(\pi-\theta):
r(\pi-\theta)=3+3\sin(\pi-\theta)=3+3\sin(\theta)=r(\theta).
Isto mostra que para cada ângulo \theta existe o ponto correspondente em \pi-\theta com o mesmo r: a curva é simétrica em relação à reta \theta=\pi/2 (eixo vertical). Anote: a simetrias ajuda a desenhar apenas metade e refletir na vertical.

Passo 4

Valores-chave de r em ângulos importantes (faça um papel quadriculado e marque estes pontos):
  • \theta=0:\\ \sin(0)=0 \Rightarrow r=3. Ponto: (x,y)=(3,0).
  • \theta=\pi/6:\\ \sin(\pi/6)=\tfrac12 \Rightarrow r=3+3\cdot\tfrac12= \tfrac92 =4{,}5.
  • \theta=\pi/4:\\ \sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2} \Rightarrow r=3+3\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\approx5{,}12.
  • \theta=\pi/3:\\ \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt3}{2} \Rightarrow r\approx5{,}598.
  • \theta=\pi/2:\\ \sin(\pi/2)=1 \Rightarrow r=6. Ponto: (x,y)=(0,6). (máximo)
  • \theta=\pi:\\ \sin(\pi)=0 \Rightarrow r=3. Ponto: (x,y)=(-3,0).
  • \theta=3\pi/2:\\ \sin(3\pi/2)=-1 \Rightarrow r=0. Ponto: origem (cusp).
  • \theta=2\pi:\\ \sin(2\pi)=0 \Rightarrow r=3 volta ao ponto (3,0).
Observação: os valores mostram que r varia entre 0 e 6, nunca é negativo, logo não há laços invertidos (não precisamos desenhar partes com r<0).

Passo 5

Interpretação qualitativa a partir dos valores:
  • r atinge o valor máximo 6 em \theta=\pi/2 (ponto mais alto).
  • r atinge o valor mínimo 0 em \theta=3\pi/2 (origem).
  • Em \theta=0 e \theta=\pi temos r=3 (pontos à direita e à esquerda do polo).
    Com esses pontos e a simetria vertical, já é possível ver que a curva tem o formato de um “coração” com a parte mais saliente para cima e um cusp na parte de baixo — isto é a forma conhecida como cardioide.

Passo 6

Mostrar que é um cardioide e comportamento local no cusp (aula curta sobre o cusp):
A equação pode ser escrita como
r=3(1+\sin\theta),
que é a forma padrão r=a(1+\sin\theta) com a=3. Curvas r=a(1+\sin\theta) são cardioides, com cusp (ponta) onde 1+\sin\theta=0, isto é em \theta=3\pi/2.
Para entender como a curva entra no cusp e que tipo de tangente ela tem, fazemos uma expansão local. Seja t=\theta-3\pi/2 pequeno. Usamos aproximações de série:
\sin(3\pi/2+t)= -\cos(t)\approx -1+\tfrac{t^{2}}{2},\qquad \cos(3\pi/2+t)= \sin(t)\approx t.
Então, para |t| pequeno,
r(\theta)=3+3\sin(3\pi/2+t)\approx 3+3\Big(-1+\tfrac{t^{2}}{2}\Big)=\tfrac{3}{2}t^{2}.
As coordenadas cartesianas próximas ao cusp são
x=r\cos\theta \approx \tfrac{3}{2}t^{2}\cdot t=\tfrac{3}{2}t^{3},\qquad y=r\sin\theta \approx \tfrac{3}{2}t^{2}\cdot(-1)=-\tfrac{3}{2}t^{2}.
Isto mostra que, quando t\to0, y varia como -t^{2} e x varia como t^{3}: o cusp está na origem e a tangente é vertical (o declive \tfrac{dy}{dx} tende ao infinito quando t\to0). Em palavras: a curva chega ao polo pela direção vertical de cima para baixo e forma uma ponta (cusp) voltada para baixo.

Passo 7

Como montar o esboço (passo a passo prático para desenhar no papel):
  1. Trace um sistema polar ou um plano cartesiano com algumas linhas radiais para os ângulos \theta=0,\pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2,\dots.
  2. Marque os pontos calculados: (3,0) em \theta=0, (0,6) em \theta=\pi/2, (-3,0) em \theta=\pi, e a origem em \theta=3\pi/2. Marque também pontos intermediários como r=\tfrac92 em \theta=\pi/6, etc.
  3. Use a simetria em \theta=\pi/2: desenhe a metade direita (ângulos de 0 a \pi/2 e de \pi/2 a \pi) e reflita verticalmente.
  4. Ligue os pontos suavemente, lembrando que entre \theta=0 e \theta=\pi/2 o r cresce de 3 até 6, e entre \theta=\pi/2 e \theta=3\pi/2 o r diminui até 0 formando a parte inferior terminando no cusp.
  5. Verifique que não aparecem voltas adicionais porque r\ge0 sempre.
Dica: se quiser, trace a curva parametricamente usando x(\theta)=(3+3\sin\theta)\cos\theta e y(\theta)=(3+3\sin\theta)\sin\theta para vários \theta e ligue os pontos.

Passo 8

Resumo do comportamento topológico (para você decorar e reconhecer rápido na prova):
  • É uma cardioide (forma de coração) com parâmetro a=3.
  • Simetria: eixo vertical \theta=\pi/2.
  • Ponto mais alto: r_{\max}=6 em \theta=\pi/2 (coordenada (0,6)).
  • Interseções com o eixo x: (3,0) em \theta=0 e (-3,0) em \theta=\pi.
  • Cusp (origem) em \theta=3\pi/2 com tangente vertical.

Resposta

Curva cardioide r=3(1+\sin\theta), simétrica em relação à reta \theta=\pi/2.
Máximo r=6 em \theta=\pi/2 (0,6).
Interseções: (3,0) em \theta=0 e (-3,0) em \theta=\pi.
Cusp na origem em \theta=3\pi/2 (tangente vertical).

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