Esboce o gráfico das curvas polares abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da curva polar
.
Informações dadas e o que precisamos anotar:
Informações dadas e o que precisamos anotar:
- A equação polar é
. - O parâmetro angular
varia tipicamente em para desenhar a curva completa. - Precisamos identificar pontos notáveis (máximos, mínimos, interceptos), simetrias, comportamento perto de pontos especiais (por exemplo onde
) e, a partir disso, traçar o esboço.
Passo 2
Breve lembrete do que são coordenadas polares (para você não se perder):
- Em coordenadas polares um ponto é dado por
onde é a distância ao polo (origem) e é o ângulo medido a partir do eixo positivo . - Para converter para coordenadas cartesianas usamos as fórmulas
Aqui
depende de
pela lei
. Essas fórmulas servem se quisermos calcular coordenadas
de pontos específicos para desenhar.
Passo 3
Verificação de simetria — é útil para economizar trabalho ao desenhar:
Calcule :
Calcule
Isto mostra que para cada ângulo
existe o ponto correspondente em
com o mesmo
: a curva é simétrica em relação à reta
(eixo vertical). Anote: a simetrias ajuda a desenhar apenas metade e refletir na vertical.
Passo 4
Valores-chave de
em ângulos importantes (faça um papel quadriculado e marque estes pontos):
-
. Ponto: . -
. -
-
-
Ponto: . (máximo) -
. Ponto: . -
Ponto: origem (cusp). -
volta ao ponto .
Observação: os valores mostram que
varia entre
e
, nunca é negativo, logo não há laços invertidos (não precisamos desenhar partes com
).
Passo 5
Interpretação qualitativa a partir dos valores:
-
atinge o valor máximo em (ponto mais alto). -
atinge o valor mínimo em (origem). - Em
e temos (pontos à direita e à esquerda do polo).
Com esses pontos e a simetria vertical, já é possível ver que a curva tem o formato de um “coração” com a parte mais saliente para cima e um cusp na parte de baixo — isto é a forma conhecida como cardioide.
Passo 6
Mostrar que é um cardioide e comportamento local no cusp (aula curta sobre o cusp):
A equação pode ser escrita como
A equação pode ser escrita como
que é a forma padrão
com
. Curvas
são cardioides, com cusp (ponta) onde
, isto é em
.
Para entender como a curva entra no cusp e que tipo de tangente ela tem, fazemos uma expansão local. Seja
pequeno. Usamos aproximações de série:
Então, para
pequeno,
As coordenadas cartesianas próximas ao cusp são
Isto mostra que, quando
,
varia como
e
varia como
: o cusp está na origem e a tangente é vertical (o declive
tende ao infinito quando
). Em palavras: a curva chega ao polo pela direção vertical de cima para baixo e forma uma ponta (cusp) voltada para baixo.
Passo 7
Como montar o esboço (passo a passo prático para desenhar no papel):
- Trace um sistema polar ou um plano cartesiano com algumas linhas radiais para os ângulos
. - Marque os pontos calculados:
em , em , em , e a origem em . Marque também pontos intermediários como em , etc. - Use a simetria em
: desenhe a metade direita (ângulos de a e de a ) e reflita verticalmente. - Ligue os pontos suavemente, lembrando que entre
e o cresce de até , e entre e o diminui até formando a parte inferior terminando no cusp. - Verifique que não aparecem voltas adicionais porque
sempre.
Dica: se quiser, trace a curva parametricamente usando
e
para vários
e ligue os pontos.
Passo 8
Resumo do comportamento topológico (para você decorar e reconhecer rápido na prova):
- É uma cardioide (forma de coração) com parâmetro
. - Simetria: eixo vertical
. - Ponto mais alto:
em (coordenada ). - Interseções com o eixo
: em e em . - Cusp (origem) em
com tangente vertical.
Resposta
Curva cardioide
, simétrica em relação à reta
.
Máximo em
.
Interseções: em
e
em
.
Cusp na origem em (tangente vertical).
Máximo
Interseções:
Cusp na origem em