Esboce o gráfico das curvas polares abaixo:
r=6

Passo 1

O enunciado dá a curva polar r=6 e pede que eu esboce o gráfico dessa curva.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é r=6 (ou seja, o raio polar r é constante e igual a 6).
  • Não foram dadas restrições explícitas sobre \theta, então assumimos o intervalo padrão \theta\in[0,2\pi).
    Nada mais foi solicitado além do esboço do gráfico.

Passo 2

O que significam r e \theta nas coordenadas polares (aulas rápidas e práticas).
  • Em coordenadas polares, cada ponto do plano é dado por dois números: r (a distância do ponto à origem) e \theta (o ângulo que o raio que liga a origem ao ponto faz com o eixo x).
  • A relação entre coordenadas polares e cartesianas é dada por:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui, x e y são as coordenadas cartesianas do mesmo ponto. Essas fórmulas significam que, se eu fixo r e vario \theta, eu estou pegando todos os pontos a uma distância fixa r da origem, girando o ângulo \theta.

Passo 3

Converter a equação polar para a forma cartesiana (isso ajuda a identificar a curva).
Partindo de r=6 e usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, tenho:
x^2 + y^2 = (r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2 = r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta).
Como \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, obtemos
x^2 + y^2 = r^2.
Substituindo r=6,
x^2 + y^2 = 6^2 = 36.

Passo 4

Interpretação geométrica da equação cartesiana encontrada.
A equação
x^2 + y^2 = 36
é a equação de uma circunferência centrada na origem (0,0) com raio 6. Então, a curva polar r=6 corresponde exatamente a essa circunferência.

Passo 5

Como esboçar na prática (passo a passo que você pode fazer rápido na prova, sem calculadora).
  1. Desenhe os eixos x e y com a origem marcada.
  2. Marque no eixo x os pontos x=6 e x=-6; marque no eixo y os pontos y=6 e y=-6. Esses quatro pontos correspondem a \theta=0,\\ \theta=\tfrac{\pi}{2},\\ \theta=\pi,\\ \theta=\tfrac{3\pi}{2} respectivamente (usei o fato de que peguei esses valores de \theta para obter os pontos).
  3. Agora desenhe a circunferência que passa por esses quatro pontos, com centro na origem e raio igual à distância até eles. Use um compasso se tiver ou desenhe à mão ligando suavemente os pontos: ficará uma circunferência.
  4. Se quiser indicar a orientação, desenhe uma pequena seta no sentido anti-horário (sentido de crescimento de \theta), embora para r constante o conjunto de pontos não dependa da orientação.
    Dica prática: em polar, r>0 significa que o ponto está na direção do ângulo \theta; como r=6>0, não há “flip” por sinal negativo a se preocupar aqui.

Passo 6

Observações finais e exemplo rápido para fixar a ideia.
  • A curva r=6 é uma circunferência fixa; variar \theta de 0 a 2\pi apenas percorre a circunferência inteira.
  • Exemplo comparativo: r=2 seria a mesma ideia, uma circunferência centrada na origem de raio 2 (equação x^2+y^2=4). Isso ajuda a ver o padrão: r=\text{constante}>0 sempre dá uma circunferência centrada na origem.

Resposta

Circunferência centrada na origem com raio 6; equação x^2+y^2=36.

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