Esboce o gráfico das curvas polares abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede que eu esboce o gráfico dessa curva.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é
(ou seja, o raio polar é constante e igual a ). - Não foram dadas restrições explícitas sobre
, então assumimos o intervalo padrão .
Nada mais foi solicitado além do esboço do gráfico.
Passo 2
O que significam
e
nas coordenadas polares (aulas rápidas e práticas).
- Em coordenadas polares, cada ponto do plano é dado por dois números:
(a distância do ponto à origem) e (o ângulo que o raio que liga a origem ao ponto faz com o eixo ). - A relação entre coordenadas polares e cartesianas é dada por:
Aqui,
e
são as coordenadas cartesianas do mesmo ponto. Essas fórmulas significam que, se eu fixo
e vario
, eu estou pegando todos os pontos a uma distância fixa
da origem, girando o ângulo
.
Passo 3
Converter a equação polar para a forma cartesiana (isso ajuda a identificar a curva).
Partindo de e usando
e
, tenho:
Partindo de
Como
, obtemos
Substituindo
,
Passo 4
Interpretação geométrica da equação cartesiana encontrada.
A equação
A equação
é a equação de uma circunferência centrada na origem
com raio
. Então, a curva polar
corresponde exatamente a essa circunferência.
Passo 5
Como esboçar na prática (passo a passo que você pode fazer rápido na prova, sem calculadora).
- Desenhe os eixos
e com a origem marcada. - Marque no eixo
os pontos e ; marque no eixo os pontos e . Esses quatro pontos correspondem a respectivamente (usei o fato de que peguei esses valores de para obter os pontos). - Agora desenhe a circunferência que passa por esses quatro pontos, com centro na origem e raio igual à distância até eles. Use um compasso se tiver ou desenhe à mão ligando suavemente os pontos: ficará uma circunferência.
- Se quiser indicar a orientação, desenhe uma pequena seta no sentido anti-horário (sentido de crescimento de
), embora para constante o conjunto de pontos não dependa da orientação.
Dica prática: em polar,significa que o ponto está na direção do ângulo ; como , não há “flip” por sinal negativo a se preocupar aqui.
Passo 6
Observações finais e exemplo rápido para fixar a ideia.
- A curva
é uma circunferência fixa; variar de a apenas percorre a circunferência inteira. - Exemplo comparativo:
seria a mesma ideia, uma circunferência centrada na origem de raio (equação ). Isso ajuda a ver o padrão: sempre dá uma circunferência centrada na origem.
Resposta
Circunferência centrada na origem com raio
; equação
.