Encontre a área fora da circunferência de raio 1 centrada em (0,1) e dentro da circunferência de raio 2 centrada na origem por meio de uma integral dupla em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a área que está fora de uma circunferência de raio 1, centrada no ponto (0,1), e dentro de outra circunferência de raio 2, centrada na origem. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Precisamos entender como converter as equações dessas circunferências para coordenadas polares e depois configurar a integral para calcular a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das duas circunferências no sistema cartesiano:
  1. Circunferência de raio 1, centrada em (0,1):
x^2 + (y - 1)^2 = 1
  1. Circunferência de raio 2, centrada na origem:
x^2 + y^2 = 4
Agora, vamos converter essas equações para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta.
Para a primeira circunferência:
(rcostheta)^2 + (rsintheta - 1)^2 = 1
Explicando: substituímos x e y por rcostheta e rsintheta respectivamente.
Expandindo e simplificando:
r^2cos^2theta + r^2sin^2theta - 2rsintheta + 1 = 1
Como cos^2theta + sin^2theta = 1, temos:
r^2 - 2rsintheta = 0 Rightarrow r(r - 2sintheta) = 0
Desconsideramos r = 0 e ficamos com:
r = 2sintheta
Então, a primeira circunferência em coordenadas polares é r = 2sintheta.
A segunda circunferência já está em coordenadas polares:
r = 2

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Precisamos saber onde essas duas circunferências se intersectam para definir os ângulos ( theta) que vamos considerar.
Igualando as duas equações de r:
2sintheta = 2 Rightarrow sintheta = 1 Rightarrow theta = pi2
Isso significa que as circunferências se intersectam quando theta = pi2.
Observando as circunferências, percebemos que para theta variando de 0 a pi, a circunferência r = 2sintheta está dentro de r = 2. Portanto, vamos integrar nesse intervalo.

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla para calcular a área desejada. Em coordenadas polares, a área A é dada por:
A = integralalpha^beta integralrinterno^rexterno r , dr , dtheta
Onde:
  • alpha = 0 e beta = pi (os limites para theta)
  • rinterno = 2sintheta (a circunferência menor)
  • rexterno = 2 (a circunferência maior)
Então, nossa integral fica:
A = integral0^pi integral2sintheta^2 r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro ( r):
integral2sintheta^2 r , dr = [ 12r^2 ]2sintheta^2 = 12(2)^2 - 12(2sintheta)^2 = 2 - 2sin^2theta
Agora, substituímos isso na integral externa:
A = integral0^pi (2 - 2sin^2theta) , dtheta = 2integral0^pi (1 - sin^2theta) , dtheta
Sabemos que 1 - sin^2theta = cos^2theta, então:
A = 2integral0^pi cos^2theta , dtheta
Usando a identidade trigonométrica cos^2theta = 1 + cos2theta2:
A = 2 cdot 12 integral0^pi (1 + cos2theta) , dtheta = integral0^pi (1 + cos2theta) , dtheta
Integrando termo a termo:
integral0^pi 1 , dtheta = pi
integral0^pi cos2theta , dtheta = [ sin2theta2 ]0^pi = 0
Portanto:
A = pi + 0 = pi

Resposta

A área fora da circunferência de raio 1 centrada em (0,1) e dentro da circunferência de raio 2 centrada na origem é igual a pi unidades de área.

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