Inverta a ordem de integração (1; 5 ponto) e calcule (0,5 ponto) a integral com a>0 (será considerada apenas a integração feita na ordem dydx):
I=integral0^4 a integraly^24 a^raiz4 a y x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para trocar a ordem de integração de I=integral0^4aintegraly^24a^raiz4ayx,y,dx,dy e depois calcular o resultado para a>0. Vamos usar geometria da região e integração iterada.

Passo 2

Primeiro, identificamos a região D no plano (x,y) definida por
0<= y<=4a, y^24a<= x<=raiz4ay
Os contornos são as curvas x=y^2/(4a) e x=raiz4ay, com y variando de 0 a 4a.

Passo 3

Para inverter, projetamos D no eixo x. Observamos que as duas curvas se cruzam em y=0 e y=4a, levando a
0<= x<=4a
Para cada x fixo, as desigualdades
y^24a<= ximplies 0<= y<=2raizax,
x<=raiz4ayimplies y>=x^24a
se combinam em
x^24a<= y<=2raizax

Passo 4

Escrevemos a integral invertida na ordem dy,dx:
I=integralx=0^4aintegraly=x^24a^2raizaxx,y,dy,dx

Passo 5

Agora calculamos a integral. Primeiro a interna:
integralx^24a^2raizaxy,dy=12l[(2raizax)^2-l(x^24ar)^2r]=12l(4ax-x^416a^2r)
Multiplicando por x e integrando externamente:
I=integral0^4al(2a,x^2-x^532a^2r)dx=l[2a,x^33-x^6192a^2r]0^4a=64a^43

Resposta

A ordem invertida é integral0^4a!integralx^24a^2raizaxx,y,dy,dx e o valor de I é tfrac64a^43.

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