Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais.
integral x^3-x+6x^3+3 x d x

Passo 1

Primeiro, a integral é de uma função racional
integral x^3-x+6x^3+3x,dx
o que significa que vamos usar divisão de polinômios (porque o grau do numerador é igual ao do denominador) e depois frações parciais para integrar.

Passo 2

Como o grau do numerador (3) é igual ao do denominador (3), fazemos divisão de polinômios:
x^3-x+6x^3+3x=1+(x^3-x+6)-(x^3+3x)x^3+3x=1+-4x+6x(x^2+3)

Passo 3

Agora escrevemos a parte racional restante em termos mais simples:
-4x+6x(x^2+3)=-4xx(x^2+3)+6x(x^2+3)=-4x^2+3+6x(x^2+3)

Passo 4

Fazemos frações parciais em 6x(x^2+3)=Ax+Bx+Cx^2+3. Igualando:
6=A(x^2+3)+(Bx+C)x=(A+B)x^2+Cx+3A

Passo 5

Dos coeficientes vem
A+B=0, C=0, 3A=6, logo A=2, B=-2, C=0. Portanto
6x(x^2+3)=2x-2xx^2+3

Passo 6

Reunindo tudo, a integral vira a soma de termos simples:
integral1,dx-integral4x^2+3,dx+integral2x,dx-integral2xx^2+3,dx

Passo 7

Agora integramos cada pedacinho usando fórmulas conhecidas e substituição u=x^2+3 quando necessário:
  • integral1,dx=x+ C1
  • integral2x,dx=2ln|x|+ C2
  • integral2xx^2+3,dx=ln(x^2+3)+ C3 (pois du=2x,dx)
  • integral4x^2+3,dx=4raiz3arctanl(xraiz3r)+ C4.

Resposta

x + 2\ln|x| - \ln\bigl(x^{2}+3\bigr) - \frac{4}{\sqrt{3}}\arctan\Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr) + C

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