Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Primeiro, a integral é de uma função racional
o que significa que vamos usar divisão de polinômios (porque o grau do numerador é igual ao do denominador) e depois frações parciais para integrar.
Passo 2
Como o grau do numerador (3) é igual ao do denominador (3), fazemos divisão de polinômios:
Passo 3
Agora escrevemos a parte racional restante em termos mais simples:
Passo 4
Fazemos frações parciais em
. Igualando:
Passo 5
Dos coeficientes vem
Passo 6
Reunindo tudo, a integral vira a soma de termos simples:
Passo 7
Agora integramos cada pedacinho usando fórmulas conhecidas e substituição
u=x^2+3 quando necessário:
-
integral1,dx=x+ C1 -
integral2x,dx=2ln|x|+ C2 -
(poisintegral2xx^2+3,dx=ln(x^2+3)+ C3 )du=2x,dx -
.integral4x^2+3,dx=4raiz3arctanl(xraiz3r)+ C4
Resposta
x + 2\ln|x| - \ln\bigl(x^{2}+3\bigr) - \frac{4}{\sqrt{3}}\arctan\Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr) + C