Encontre todos os pontos (x0, y0) in R^2 tais que o plano tangente ao gráfico de f(x, y)=x^3+y^33 no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é paralelo ao plano x+y-2 z+5=0

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar: Queremos achar os pontos (x0,y0) tais que o plano tangente ao gráfico de f(x,y)=x^3+y^33 no ponto (x0,y0,f(x0,y0)) seja paralelo ao plano x+y-2z+5=0. O conteúdo é derivadas parciais e plano tangente; vamos precisar de fx, fy e da condição de paralelismo de planos via vetores normais.

Passo 2

Para montar o plano tangente, represente a superfície como F(x,y,z)=f(x,y)-z=0. O vetor normal ao plano tangente é dado por nabla F(x,y,z)=(fx,fy,-1). Calculando as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^3+y^33r)=x^2, fy(x,y)=partialpartial yl(x^3+y^33r)=y^2

Passo 3

Para serem paralelos, os vetores normais devem ser múltiplos: o normal do plano dado é n=(1,1,-2), então existe lambda tal que
(fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1)=lambda,(1,1,-2)

Passo 4

Igualando componente a componente, da terceira coordenada vem -1=-2lambda, logo lambda=tfrac12. Então das duas primeiras coordenadas:
x0^2=fx(x0,y0)=lambda=tfrac12,y0^2=fy(x0,y0)=lambda=tfrac12Assim x0=pm1raiz2 e y0=pm1raiz2.

Passo 5

Concluímos que todos os pontos (x0,y0) que satisfazem a condição são
l(pm1raiz2,,pm1raiz2r), ou seja, as quatro combinações de sinais.

Resposta

x0=pm1raiz2, y0=pm1raiz2.

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