Resolva os problemas
2 y^prime prime+y^prime+4 y=de;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea de segunda ordem com impulsos:
2 y’’ + y’ + 4 y = δ_{π/6}(t)
com condições iniciais y(0)=0, y’(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos Laplace em ambos os lados. Usando y(0)=0 e y’(0)=0, temos:
2(s^2Y(s)) + sY(s) + 4Y(s) = Lδπ/6(t)sin t
Pelo teorema do impulso deslocado,
Lδπ/6(t)sin t = e^-π6ssinl(tfracπ6r) = tfrac12 ,e^-π6s

Passo 3

Colocando tudo junto, isolamos Y(s):
Y(s) = tfrac12,e^-π6s2s^2 + s + 4

Passo 4

Para inverter a transformada, definimos a função impulso-resposta h(t) cuja Laplace é H(s)=1/(2s^2+s+4). Escrevemos o denominador em forma canônica:
2s^2 + s +4 = 2l((s+tfrac14)^2 + tfrac3116r)
Dividindo por 2, obtemos a forma padrão de um sistema subamortecido com frequência amortecida ω_d = √31/4 e taxa de decaimento 1/4.

Passo 5

A inversa de H(s) é
h(t) = 2raiz31,e^-t/4sin!l(tfracraiz314tr), t>0
Como Y(s)=\tfrac12 e^{-πs/6}H(s), pelo deslocamento de Laplace:
y(t)=tfrac12,hl(t-tfracπ6r),ul(t-tfracπ6r)

Passo 6

Substituindo h(t) e simplificando a constante \tfrac12·\tfrac{2}{√31} = 1/√31, obtemos para t≥π/6:
y(t)=1raiz31,e^-t-π/64sin!l(tfracraiz314(t-tfracπ6)r),
com y(t)=0 para t<π/6.

Resposta

y(t)= 0,&t<π6, 1raiz31,e^-t-π/64sin!l(tfracraiz314(t-tfracπ6)r),&t>=π6

Exercícios relacionados