Resolva os problemas
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea de segunda ordem com impulsos:
2 y’’ + y’ + 4 y = δ_{π/6}(t)
com condições iniciais y(0)=0, y’(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo.
2 y’’ + y’ + 4 y = δ_{π/6}(t)
com condições iniciais y(0)=0, y’(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicamos Laplace em ambos os lados. Usando y(0)=0 e y’(0)=0, temos:
Pelo teorema do impulso deslocado,
Passo 3
Colocando tudo junto, isolamos Y(s):
Passo 4
Para inverter a transformada, definimos a função impulso-resposta h(t) cuja Laplace é H(s)=1/(2s^2+s+4). Escrevemos o denominador em forma canônica:
Dividindo por 2, obtemos a forma padrão de um sistema subamortecido com frequência amortecida ω_d = √31/4 e taxa de decaimento 1/4.
Passo 5
A inversa de H(s) é
Como Y(s)=\tfrac12 e^{-πs/6}H(s), pelo deslocamento de Laplace:
Passo 6
Substituindo h(t) e simplificando a constante \tfrac12·\tfrac{2}{√31} = 1/√31, obtemos para t≥π/6:
com y(t)=0 para t<π/6.