Encontre a área limitada pelas curvas:
x^2 y=1, x^2 y=2, y=x, y=5 x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área limitada pelas curvas , , e . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de áreas entre curvas utilizando integrais. Para isso, vamos precisar identificar os pontos onde as curvas se encontram e então calcular a integral adequada para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas x^2 cdot x = 1 implies x^3 = 1 implies x = 1 e x^2 cdot x = 2 implies x^3 = 2 implies x = raiz[3]2 , e entre x^2 cdot 5x = 1 implies 5x^3 = 1 implies x^3 = 15 implies x = raiz[3]15 e x^2 cdot 5x = 2 implies 5x^3 = 2 implies x^3 = 25 implies x = raiz[3]25 . Para isso, substituímos por nas equações das curvas:
Para :
Então, . Portanto, um ponto de interseção é .
Para :
Então, . Portanto, outro ponto de interseção é .
Agora, fazemos o mesmo para as curvas e :
Então, .
Portanto, o ponto de interseção é .
E para e :
Então, .
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos traçar a região que está entre as curvas y = 1x^2 e y = 2x^2 e x = raiz1y e x = raiz2y , e entre as linhas A = integral1^raiz[3]100 ( raiz2y - raiz1y ) dy e A = integral1^raiz[3]100 ( raiz2y ) dy - integral1^raiz[3]100 ( raiz1y ) dy . Para encontrar a área entre essas curvas, podemos usar a técnica de integrais duplas ou calcular a diferença entre as integrais das curvas superiores e inferiores nos limites estabelecidos.
Vamos reescrever as equações das curvas integral raizky dy = integral raizk cdot y^-1/2 dy = 2raizk cdot y^1/2 + C e A = 2raiz2 ( y^1/2 g|1^raiz[3]100 ) - 2 ( y^1/2 g|1^raiz[3]100 ) em termos de A = 2raiz2 ( raizraiz[3]100 - raiz1 ) - 2 ( raizraiz[3]100 - 1 ) :
A = 2raiz2 ( 100^1/6 - 1 ) - 2 ( 100^1/6 - 1 )
Agora, observamos que A = ( 2raiz2 - 2 ) ( 100^1/6 - 1 ) está acima de para . Também, está acima de para .
Para encontrar a área limitada, precisamos integrar a diferença entre as duas funções e em relação a nos limites de integração definidos pelos pontos de interseção com as linhas e .
Entretanto, devido à complexidade das interseções e para simplificar, vamos considerar a integração em . Resolvendo as equações para em termos de :
E as linhas e podem ser reescritas como e .
Agora, vamos determinar os limites de . Observando os pontos de interseção, o mínimo valor de é e o máximo é para , portanto .
A área pode ser calculada pela integral:
Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Aplicando isso aos limites de integração:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Fatorando :

Resposta

A área limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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