Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área limitada pelas curvas , , e . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de áreas entre curvas utilizando integrais. Para isso, vamos precisar identificar os pontos onde as curvas se encontram e então calcular a integral adequada para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e , e entre e . Para isso, substituímos por nas equações das curvas:
Para :
Então, . Portanto, um ponto de interseção é .
Para :
Então, . Portanto, outro ponto de interseção é .
Agora, fazemos o mesmo para as curvas e :
Então, .
Portanto, o ponto de interseção é .
E para e :
Então, .
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, vamos traçar a região que está entre as curvas e , e entre as linhas e . Para encontrar a área entre essas curvas, podemos usar a técnica de integrais duplas ou calcular a diferença entre as integrais das curvas superiores e inferiores nos limites estabelecidos.
Vamos reescrever as equações das curvas e em termos de :
Agora, observamos que está acima de para . Também, está acima de para .
Para encontrar a área limitada, precisamos integrar a diferença entre as duas funções e em relação a nos limites de integração definidos pelos pontos de interseção com as linhas e .
Entretanto, devido à complexidade das interseções e para simplificar, vamos considerar a integração em . Resolvendo as equações para em termos de :
E as linhas e podem ser reescritas como e .
Agora, vamos determinar os limites de . Observando os pontos de interseção, o mínimo valor de é e o máximo é para , portanto .
A área pode ser calculada pela integral:
Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Aplicando isso aos limites de integração:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Fatorando :
Resposta
A área limitada pelas curvas é unidades quadradas.