Encontre a integral dupla usando coordenadas polares:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla que precisamos resolver usando coordenadas polares. O enunciado é:
Então, basicamente, queremos calcular a área onde
e integrar a função
nessa região. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares ou que têm simetria radial. Vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para polares e calcular os limites de integração nessa nova coordenada. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração:
. Vamos rearranjar essa expressão para identificar melhor a forma dessa região.
Para completar o quadrado em relação a
, adicionamos e subtraímos
:
Então, a região é um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora que sabemos que a região é um círculo, fica mais fácil usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Vamos também converter a desigualdade da região para coordenadas polares. A equação do círculo fica:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de
e
para a integração.
Como o círculo está centrado em
com raio
, os ângulos
que abrangem a região vão de
a
. Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Então, nossos limites de integração são:
Passo 5
Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares usando os limites que encontramos. Lembre-se de que
e
.
A integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral em relação a
:
Fazendo uma substituição
, então
. Quando
,
; e quando
,
.
Então, nossa integral se torna:
Resposta
A integral dupla vale 0.