Encontre a integral dupla usando coordenadas polares:
integral duplax^2+y^2-y <= 0 x d x d y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla que precisamos resolver usando coordenadas polares. O enunciado é:
integral duplax^2+y^2-y <= 0 x , dx , dy
Então, basicamente, queremos calcular a área onde e integrar a função nessa região. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares ou que têm simetria radial. Vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para polares e calcular os limites de integração nessa nova coordenada. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração: x^2 + y^2 - y <= 0 Rightarrow x^2 + (y^2 - y) <= 0 . Vamos rearranjar essa expressão para identificar melhor a forma dessa região.
x^2 + (y^2 - y + 14) - 14 <= 0 Rightarrow x^2 + (y - 12)^2 <= 14
Para completar o quadrado em relação a , adicionamos e subtraímos :
Então, a região é um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora que sabemos que a região é um círculo, fica mais fácil usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, o elemento de área dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares é dado por:
r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta - r sin theta <= 0 Rightarrow r^2 - r sin theta <= 0
Vamos também converter a desigualdade da região para coordenadas polares. A equação do círculo fica:
r <= sin theta
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de 0 <= theta <= pi e 0 <= r <= sin theta e para a integração.
Como o círculo está centrado em com raio , os ângulos que abrangem a região vão de a . Para cada nesse intervalo, varia de até .
Então, nossos limites de integração são:

Passo 5

Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares usando os limites que encontramos. Lembre-se de que integral duplax^2+y^2-y <= 0 x , dx , dy = integral0^pi integral0^sin theta (r cos theta) cdot r , dr , dtheta e integral0^pi integral0^sin theta r^2 cos theta , dr , dtheta .
A integral fica:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^sin theta r^2 cos theta , dr = cos theta integral0^sin theta r^2 , dr = cos theta [ r^33 ]0^sin theta = cos theta cdot (sin theta)^33 :
13 integral0^pi cos theta cdot (sin theta)^3 , dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em relação a 13 integral0^pi cos theta cdot (sin theta)^3 , dtheta :
13 integral0^0 u^3 , du = 0
Fazendo uma substituição , então . Quando , ; e quando , .
Então, nossa integral se torna:

Resposta

A integral dupla vale 0.

Exercícios relacionados