Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de
do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola
, em que
representa a altura da bola em relação ao eixo
(das abscissas) que está localizado a
do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.
A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:
- ginásio I: 17 m ;
- ginásio II: 18 m ;
- ginásio III: 19 m ;
- ginásio IV: 21 m;
- ginásio V: 40 m .
Determine os ginásios onde o saque desse atleta foi invalidado.
A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:
Determine os ginásios onde o saque desse atleta foi invalidado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um jogador de voleibol cujo saque segue uma trajetória parabólica. Nosso objetivo é descobrir em quais ginásios o saque dele foi invalidado porque a bola bateu no teto. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de funções quadráticas e como encontrar o máximo dessa função. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a trajetória da bola. A equação da parábola é:
Aqui,
representa a altura da bola em metros, e
é a distância horizontal desde o ponto onde o saque foi feito.
Passo 3
Como a parábola tem o coeficiente de
negativo (
), sabemos que ela abre para baixo. Isso significa que a parábola tem um ponto mais alto, que é o vértice, representando a altura máxima que a bola atingiu durante o saque.
Passo 4
Para encontrar a altura máxima, precisamos determinar as coordenadas do vértice da parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice é:
Onde
e
.
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar
, que é a altura máxima:
Calculando passo a passo:
Para facilitar, vamos transformar tudo com denominador 6:
Passo 6
Agora sabemos que a altura máxima que a bola atinge é de aproximadamente 20,17 metros. Vamos comparar essa altura com os tetos dos ginásios:
- Ginásio I: 17 m
- Ginásio II: 18 m
- Ginásio III: 19 m
- Ginásio IV: 21 m
- Ginásio V: 40 m
Passo 7
Se a altura do teto for menor que a altura máxima da bola, o saque será invalidado porque a bola bateu no teto.
Comparando:
- Ginásio I (17 m): 17 m < 20,17 m → Invalidado
- Ginásio II (18 m): 18 m < 20,17 m → Invalidado
- Ginásio III (19 m): 19 m < 20,17 m → Invalidado
- Ginásio IV (21 m): 21 m > 20,17 m → Válido
- Ginásio V (40 m): 40 m > 20,17 m → Válido
Resposta
O saque do atleta foi invalidado nos ginásios I, II e III.